9.5. Физический смысл положительно- и отрицательно-частотных составляющих и сопряженных функций.

Из уравнений (24) непосредственно вытекает физический смысл положительно-частотной и отрицательно-частотной частей операторной функции поля (Швингер (1949а)). Рассмотрим поле частиц с массой , описываемое функцией

Подставляя в (24) по отдельности, находим:

откуда вытекает:

Здесь приняты обозначения

Введем теперь состояние с определенным значением 4-вектора энергии-импульса, описываемое амплитудой

Умножая (30) справа на , получаем с учетом (32)

Из (31) тем же способом находим:

причем в обоих случаях

Из полученных уравнений вытекает, что выражение представляет амплитуду состояния с энергией импульсом соответствует состоянию с энергией-импульсом . Поскольку при этом выполняется соотношение то можно считать, что оператор описывает рождение частицы с массой и 4-импульсом k, а оператор и соответствует уничтожению такой же частицы.

Подчеркнем, что это свойство частотных частей операторов поля является совершенно общим, справедливым для полей любой тензорной размерности, как действительных, так и комплексных, и не зависит от конкретного вида перестановочных соотношений.

Переходя к обсуждению уравнения (25), заметим, что оно явным образом содержит матрицу А преобразования компонент функций поля, которая определяется тензорной размерностью последнего и реализует конечномерное представление группы Лоренца. Детальный анализ уравнения (25) приводит к разложению операторной функции поля по состояниям с определенными значениями полного момента, что соответствует разложению по сферическим гармоникам.

Рассмотрим еще уравнения (26). Вводя амплитуду Ф? состояния с определенным значением заряда q

получаем с помощью (26) два уравнения:

из которых вытекает, что оператор и увеличивает заряд поля на 1, а оператор и уменьшает его на ту же величину. Подобными свойствами обладают, разумеется, и положительно- и отрицательночастотные части операторов по отдельности.