24.5. Общая структура матричных элементов.

Рассмотрим в общих чертах структуру матричных элементов матрицы рассеяния

определенной в § 20 в виде предела матрицы при неограниченном расширении области, в которой на все пространство-время.

Для этого необходимо исследовать также структуру матричных элементов матрицы

и особенности предельного перехода

Из структуры матрицы S(g), представленной в виде

    (21.38)

следует, что матричные элементы (25) отличаются от уже исследованных матричных элементов

только наличием дополнительного множителя в лагранжиане взаимодействия

Рис. 13.

Поэтому условно можно считать некоторым классическим внешним полем, взаимодействие с которым происходит в каждом узле диаграммы Фейнмана. Фурье-образу -поля

на диаграммах можно сопоставить некоторую линию наподобие изображенной на рис. 13, выходящую из каждого узла, но не выходящую за пределы диаграммы. Эту линию можно изображать, например, пунктиром (рис. 13). Кроме того, введение функции в лагранжиан, очевидно, нарушает закон сохранения энергии-импульса в каждом узле, а следовательно, и по всей диаграмме в целом.

С помощью теоремы Вика матричный элемент (25) можно представить в виде

Матричные элементы в правой части после выполнения коммутаций дают:

    (28)

Благодаря трансляционной инвариантности коэффициентных функций их импульсное представление содержит

Используя также соотношение (26), получаем отсюда:

где

Подставляя (28) и (29) в (27), получаем:

где каждое k равно либо одному из или из , либо разности , либо, наконец, нулю. Во всяком случае,

Как уже упоминалось, функция есть функция области 4-пространства, в котором происходит взаимодействие. Считая, что процесс происходит в объеме V и в интервале времени Т, получаем, что

и достаточно быстро спадает к нулю около границ этой области. Увеличивая неограниченно размеры областей V и Т, мы приходим в пределе к положению, когда взаимодействие включается в бесконечно

удаленном прошлом, выключается в бесконечно удаленном будущем и распространено на все пространство. С помощью такого предельного, перехода обычно и определяется матрица рассеяния

Фурье-образ при этом стремится к величине, пропорциональной . Чтобы найти коэффициент пропорциональности, заметим, что и потому имеем приближенно

Выполняя теперь интеграции в (30), находим, используя (32),

Для выполнения этой интеграции важно, чтобы функция Q была непрерывна около точки .

Подставляя (33) в (31), получаем теперь:

а потому ввиду (32)

При определении вероятностей процессов рассеяния приходится вычислять квадраты матричных элементов типа

которые естественно определить как асимптотические при формы выражений

Выражение в пределе (32) формально стремится к . Здесь, однако, следует воспользоваться тем (известным из квантовой механики) обстоятельством, что нас будет интересовать вероятность процесса, отнесенная к единичному интервалу времени и единичному объему.

Поэтому согласно (26) находим приближенно

Для интересующего пас квадрата матричного элемента (36) получаем теперь предельное выражение в виде

Аналогичную выкладку можно провести при рассеянии частиц классическим стационарным полем типа (23). В этом случае, как было установлено, импульс не сохраняется, а сохраняется лишь энергия и вместо (35) и (37) получим: