§ 16. Особенности функций Грина и регуляризация

16.1. Вычисление D+ и D-функций.

Займемся исследованием особенностей перестановочных функций и функций Грина. В предыдущем параграфе было установлено, что все эти функции могут быть выражены через частотные части функции Паули — Йордана. Поэтому мы начнем с вычисления интегралов

Выполняя в (1), (2) интеграцию и по угловым переменным в пространстве к, представим эти выражения в виде

где

    (4)

а — функция, комплексно-сопряженная с f(x). Таким образом, задача определения сведется к вычислению одного интеграла (4). Производя в нем замену переменных

получаем:

Здесь следует различать четыре случая:

Подставляя соответственно

(здесь введено обозначение ) и используя известные интегральные представления цилиндрических функций находим:

откуда следует:

Здесь — функции Бесселя первого рода, — функции Неймана (функции Бесселя второго рода, обозначаемые иногда через , — функции Ханкеля (функции Бесселя третьего рода) от мнимого аргумента

При малых значениях аргумента

тогда как при больших действительных

Заменяя в (3) дифференцирование по дифференцированием по с учетом скачка функции в точке (ср. (7)), получаем из (3) следующие выражения для

Формулы (10), (11) явятся исходными при исследовании особенностей всех интересующих нас функций.