ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
§ 39. Уравнение Шредингера для амплитуды состояний
39.1. Уравнение для ... в вариационных производных.
При изучении взаимодействия свободных полей до сих пор мы рассматривали положения, когда взаимодействие эффективно в конечной пространственно-временной области. С помощью соответствующего предельного перехода, в процессе которого «область эффективности» взаимодействия неограниченно расширяется, мы получали возможность определить элементы матрицы рассеяния. Последние, в свою очередь, позволили вычислять эффективные сечения для процесса рассеяния, в начале и конце которого частицы можно считать свободными. Однако этим не исчерпывается круг задач, стоящих перед теорией. Мы имеем в виду вопросы определения энергетических и иных характеристик связанных состояний, времен жизни возбужденных состояний, эффективных поперечных сечений процессов в случаях, когда в начальном и конечном состоянии имеются связанные комплексы частиц, и т. п.
Для решения этих задач матрица рассеяния недостаточна; оказывается необходимым иметь инструмент более детального описания системы, например уравнение типа уравнения Шредингера. Для естественного построения такого уравнения будем исходить формально из установленного ранее соотношения (20.13):
где Ф — постоянная, 
— матрица рассеяния при взаимодействии, включенном с интенсивностью g, а 
— амплитуда состояния, в котором находится система, испытавшая взаимодействие указанной интенсивности. Варьируя это соотношение по функции 
и используя условие унитарности матрицы 
получаем:
Поэтому, вводя оператор (ср. §§ 21.2, 31.2)
(21.10)
можем записать
или, в интегральной форме,
Уравнение (2) по своей форме является вариационным аналогом уравнения Шредингера, а оператор 
играет роль обобщенного гамильтониана (точнее, плотности обобщенной функции Гамильтона). Более того, аналогия с уравнением Шредингера увеличивается и, как мы увидим ниже, формально приводит к совпадению, если функцию 
устремить к разрывной функции, равной единице для всех точек 4-пространства, имеющих временную координату, меньшую некоторого фиксированного
и равную нулю для всех точек 
. Такая 
очевидно, описывает процесс мгновенного выключения взаимодействия во всем трехмерном пространстве в момент времени 
Амплитуда состояния 
при этом становится функцией параметра 
и может быть обозначена через 
Но и в обычной теории такое понятие, как волновая функция в момент времени 
, может быть введено с помощью процесса мгновенного выключения взаимодействия в момент времени 
. После такого выключения волновая функция перестает изменяться, и мы имеем просто
Если при этом произвести выключение взаимодействия не на 4-плоскости 
а на некоторой пространственно-подобной 4-поверхности а:
то мы получим известное ковариантное уравнение в форме Томонага—Швингера. При этом, как в обычном уравнении Шредингера, плотность гамильтониана 
будет зависеть от поведения полей в бесконечно малой окрестности точки 
Наша точка зрения отличается от обычной тем, что мы используем процесс непрерывного, а не мгновенного выключения взаимодействия.
