§ 19. Умножение операторных выражений

19.1. Умножение сингулярных функций.

Перейдем к исследованию основного вопроса об определении произведений спариваний (18.1) с помощью теоремы Вика. Подчеркнем, что необходимость специального определения произведений вообще типична для несобственных функций. Дело в том, что несобственная функция задается установлением правил ее интеграции лишь с достаточно регулярными функциями, а из таких правил рецептура интеграции произведения нескольких сингулярных функций непосредственно не вытекает. Мы можем, однако, воспользоваться здесь методом несобственного предельного перехода и определить исследуемое выражение (18.1) с помощью сходящейся последовательности регулярных функций. Чтобы построить такую последовательность наиболее

естественным путем, обратимся сперва к чисто формальному приему, типичному для теории поля. Будем исходить из представлений (18.6) и положим:

Перемножая формально интегралы, найдем:

где — число множителей в рассматриваемом произведении, а

Можно показать, что область интеграции в (2) конечна. Поэтому оказывается возможным строго определить рассматриваемые произведения (18.1) в виде несобственных пределов последовательности соответствующих регулярных аналитических функций. Выбирая в качестве таких аналитических функций произведения получим:

В самом деле, нитеграция в (2) совершается лишь по области, в которой

Поэтому, в частности

откуда ввиду положительности найдем последовательно

так что во всяком случае

и, следовательно,

Конечность области интеграции в (2) обусловливает отсутствие расходимостей и возможность строгого определения рассматриваемого выражения (18.1) как несобственного предела последовательности регулярных аналитических функций

    (6)

при неограниченном расширении области -мериого пространства точек охватывающей в пределе все это пространство.

Чтобы обосновать это утверждение, докажем существование такого предела и его независимость от специального выбора последовательностей областей Как всегда, рассмотрим для этого соответствующую последовательность функционалов

в линейном пространстве при фиксированных, достаточно больших значениях . Требуется оценить порядок убывания на бесконечности фурье-образа функции F

Дословно повторяя произведенные рассуждении в рассматриваемом случае нетрудно убедиться, что еслн принадлежит классу , то будет непрерывной функцией, удовлетворяющей неравенству

Подставляя теперь (6) в (7) и вводя функцию

получим:

где

Поскольку область неограниченно расширяется и в пределе охватывает все -мерное пространство, мы можем утверждать, что для точек вне

Таким образом, при тех X, для которых

будем иметь:

Заметив это, найдем:

где

Здесь обозначает область, ограниченную условием

Воспользовавшись тем, что из (4) вытекают неравенства (5), получаем, что под знаком интеграла (10)

и, следовательно,

Отсюда на основании (8) найдем:

и потому под знаком рассматриваемого интеграла (10)

где v — сумма степеней всех полиномов . Теперь ясно, что

Поэтому, если взять

то интеграл в правой части этого неравенства будет абсолютно сходящимся и при . Итак, для любой функции из класса выражение в левой части (9) стремится к нулю.

Мы можем, следовательно, утверждать, что последовательность регулярных аналитических функций (6) является сходящейся (в несобственном смысле), причем

Поскольку правая часть этого равенства не зависит от специального выбора последовательности областей мы видим тем самым, что от него не зависит и

Таким образом, соотношение (1) действительно определяет выражение

как интегрируемую несобственную функцию, для которой ввиду (12)

Исследуемое произведение сингулярных функций может быть также аппроксимировано с помощью соответствующих произведений регуляризованных функций

Установим для этого, что для всякой из класса справедливо предельное соотношение

Согласно определению регуляризованных функций (18.12) разность (14) равна сумме произведений коэффициентов с интегралами, получающимися из интеграла в правой части (13) заменой масс на массы М. Поскольку все ограничены при соотношение (14) будет доказано, как только мы покажем, что такие интегралы стремятся к нулю. Воспользовавшись для этого оценкой (11), найдем, что по абсолютной величине они будут меньше, чем

Но благодаря присутствию масс в знаменателе подынтегрального выражения этот интеграл стремится к нулю при и соотношение (3) тем самым доказано.

Приведенные рассуждения распространяются и на общий случай коэффициентных функций, получающихся в результате умножения двух операторных функций типа (17.1) с различными аргументами, и соответствующие выражения

(в которых — независимые аргументы, а К и Q — интегрируемые, трансляционно-инвариантные коэффициентные функции) могут быть определены как интегрируемые несобственные функции.

Для выражений этого вида можно доказать следующую общую теорему:

Если являются трансляционноинвариантными коэффициентными функциями и в несобственном смысле:

а аргументы независимы, то

Доказательство этой теоремы построено на том же принципе, как и доказательство предельного соотношения (14).

По существу, оба эти доказательства основаны на том простом обстоятельстве, что из ограниченности суммы отрицательных частот вытекает и ограниченность каждой отдельной частоты. Мы

рассматривали сначала произведение одних только отрицательно-частотных частей -функций; поэтому весь проведенный анализ тривиально переносится и на случай, когда вместо ГГ стоят одни

Предоставляем читателю в виде упражнения доказать следующие формулы для произведений D- и S-функций одинаковой частотности:

Совершенно иное положение получится, если мы будем рассматривать вместо (18.1) произведения, например, типа

так как в присутствуют и положительно- и отрицательночастотные компоненты. Можно показать, что, несмотря на слабость условия интегрируемости (§ 18.1), в котором требуется существование интеграла от произведения рассматриваемой сингулярной функции лишь с функциями из класса со сколь угодно высокими показателями , произведение (16) не является определенной интегрируемой функцией и несобственное предельное соотношение типа (14) здесь не имеет места.