48.5. Схемная зависимость.

При реализации этой программы приходится сталкиваться с вопросами так называемой схемной зависимости. Как отмечалось в §§ 34 и 36, для однозначного определения перенормированных конечных величин (масс, констант связи) необходимо фиксировать схему вычитания расходимостей. Поэтому, в частности, в одной и той же квантовополевой модели различные схемы перенормировок приводят к разным константам связи, которые могут быть выражены друг через друга соотношениями типа (47.37). Эти последние по своей структуре соответствуют преобразованиям специального вида (47.44).

Разумеется, в точных выражениях для квантовоиолевых величин (одетых пропагаторов, вершинных функций) подобные преобразования сводятся к заменам некоторых аргументов. Однако теория возмущений дает нам лишь степенные приближения, которые вообще говоря, оказываются неэквивалентными в различных схемах вычитания именно в силу своего приближенного характера.

Поскольку, согласно (38), ренормгрупповые функции Р и у определяются по теории возмущений, рассмотрим их трансформацию при преобразовании (47.44), т. е. переход от уравнений (17), (20) к уравнениям

причем выражаются через из (17), (20) соотношениями (47.43), (47.44) и

где функция q, обратная к Q, была введена в (47.42). Общие соотношения между получаются надлежащим дифференцированием уравнений (47.43) и (43):

Обратимся теперь к теории возмущений. Используя для пересчетной функции Q разложение (47.44) и соответствующие разложения для ренормгрупповых функций

получим из (44), (45)

а также

Формулы (48) значительно упрощаются, если пересчетная функция Q не зависит от у. Этот случай представляет интерес при анализе ультрафиолетовых асимптотик или безмассовых моделей.

Для него

Таким образом, схемно независимым является первый коэффициент -функции, а в безмассовом случае — также два первых коэффициента -функции.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда инвариантный заряд не удовлетворяет условию нормировки на константу связи. Эта возможность реализуется, в частности, в схеме размерной перенормировки. Пусть, например

Здесь мы ввели особое обозначение для «нормированного на инвариантного заряда. Функциональное уравнение для него имеет вид

где

a N — функция, обратная к n по второму аргументу, т. е.

Дифференциальное уравнение Ли для может быть записано в обычном виде

где, однако

Общие решения уравнений (51), (53) могут быть получены с помощью замечания о том, что величина участвующая в ренормировочном преобразовании ненормированного инвариантного заряда и определенная согласно (52), будучи представлена в виде

удовлетворяет обычному функциональному уравнению (47.38). Мы назовем ее эффективным шрядом Выписывая для нее уравнение Ли

можем убедиться, что соответствующая бета-функция связана с соотношением

Не составляет большого труда проверить, что в уравнение Овсянникова для

входит бета-функция эффективного заряда.

Таким образом, в общем случае бета-функции эволюционного и компенсационного дифференциальных уравнений отличаются друг от друга. Исключение представляет схема импульсных вычитаний, в которой инвариантный заряд совпадает с эффективным.

Сравнивая формулы (57) и (44) убеждаемся в их тождественности при условии отождествления функций Этот факт вполне естествен, так как в свете преобразований из § 47.5 уравнения (50) -(52) могут рассматриваться как обычные уравнения, записанные в терминах «новой» константы связи