26.2. Аннигиляция пары электрон — позитрон.

Рассмотрим процесс аннигиляции электрона и позитрона. Простейшая диаграмма, соответствующая этому процессу (рис. 15), является единственной диаграммой первого порядка.

Рис. 15.

Легко, однако, заметить, что описываемая этой диаграммой однофотонная аннигиляция запрещена законами сохранения энергии-импульса. В самом деле, законы сохранения дают:

и, переходя, например, к системе центрамасс электрона и позитрона получаем явное противоречие.

Двухфотонная аннигиляция описывается двумя диаграммами второго порядка, изображенными на рис. 11.

Расчет проведем в системе центра масс электрона и позитрона. Обозначая тогда

получаем:

электрон:

позитрон:

1-й фотон:

2-й фотон:

Сечение процесса согласно основной формуле (27) с учетом нормировки амплитуды двухфотонного состояния и соотношения равно

где обозначено

По правилам соответствия строим матричные элементы

складывая их, находим:

причем

Коммутируя и используя уравнения поля

приводим М к виду

откуда также следует, что

При вычислении необходимо усреднить по спинам электрона и позитрона. Поэтому с учетом (7.20) и (7.21)

где

Используя закон сохранения 4-импульса

представим А в виде суммы

причем

При вычислении используем (6.16) и следующие соотношения, вытекающие из определений:

где — угол между векторами

Общий метод вычисления шпуров, как и в предыдущем случае, заключается в последовательном сближении одинаковых матричных 4-векторов. Опуская элементарные, но утомительные выкладки, приведем результаты:

Выполняя суммирование по направлениям поляризации фотонов с учетом соотношений

получаем

Внося это выражение в (11) и (10), приходим к известной формуле для дифференциального эффективного сечения аннигиляции электрон-позитронной пары: