§ 89. Приложение к приближенному решению в общем случае.

Как уже упоминалось во введении к настоящей главе, изложенные выше методы эффективного решения могут быть с успехом применены и к приближенному решению основных задач для односвязных областей, ограниченных практически произвольными контурами. Укажем теперь, как можно это сделать; при этом нам придется отчасти повторить сказанное в конце § 63.

Пусть заданная область, ограниченная одним простым замкнутым контуром и пусть соотношение

отображает область на круг Будем сперва считать область конечной. Тогда функция со голоморфна при и поэтому она разлагается для указанных значений в ряд

мы считаем, что но это, конечно, не обязательно.

Если теперь в разложении (2) взять лишь первых членов, т. е. вместо со взять полином

то соотношение

будет отображать на круг не область а некоторую другую область Если взять достаточно большим, то, как уже было сказано в § 63, при известных, весьма общих предположениях относительно контура области область будет сколь угодно близка к данной области Практически же обычно достаточно оставить весьма небольшое число членов в разложении (2) для того, чтобы получить область, достаточно для данной цели близкую к

В очень многих случаях достаточно даже самое грубое приближение. Если, например, речь идет о применении уравнений теории упругости к таким телам, как горные породы (а это нередко делается на практике), которые лишь весьма отдаленно напоминают однородные тела, подчиняющиеся закону Гука, то ясно, что в этих случаях большая точность в вычислениях совершенно неуместна.

Итак, оставив достаточное для данной цели число членов разложения (2), мы можем практически решить данную задачу для области это решение будет вместе с тем приближенным решением для данной области

В случае бесконечной области, вместо разложения (2), будем иметь разложение вида

(и здесь можно считать а вместо (3) —

и все сказанное выше применимо также к данному случаю.

Вместо разложения в степенной ряд можно, конечно, воспользоваться любым другим разложением в ряд по рациональным функциям.

Можно доказать, что при известных общих предположениях относительно контура и относительно выбранного способа разложения,

решение, полученное для области стремится к решению для данной области когда доказательство можно найти в статье автора [6] и при более общих предположениях — в статье Д. И. Шермана [5].

Указанный только что прием приближенного решения дает хорошие результаты даже в том случае, когда контур не гладкий, а имеет угловые точки, например представляет собой многоугольник.

Для отображения области, ограниченной прямолинейным многоугольником на круг, можно воспользоваться известной формулой Кристофеля — Шварца которая оказалась практически весьма полезной для интересующей нас здесь цели.

Указанный выше прием был с успехом применен Г. Н. Савиным к решению ряда практически важных задач. Отсылая читателя в первую очередь к монографии .

Рис. 40.

Рис. 41.

Савина [8], а также к другим его работам [1, 2] и к статье Динника, Моргаевского и Г. Н. Савина [1], мы ограничимся двумя примерами, заимствованными из статьи Г. Н. Савина наглядно показывающими практическую пригодность интересующего нас приема.

В качестве первого примера рассмотрим область, представляющую собой бесконечную плоскость с отверстием в виде равностороннего треугольника. В этом случае отображающая функция со может быть представлена в виде

где А — некоторая действительная постоянная, определяющая размеры треугольника. Разлагая в ряд, получим при надлежащем выборе произвольной постоянной в правой части:

Если в этом разложении взять первые два или первые три члена, то вместо треугольника получим контуры, изображенные соответственно на рис. 40 и 41.

В качестве второго примера рассмотрим бесконечную плоскость с квадратным отверстием. В этом случае можно взять

где действительная постоянная, определяющая размеры квадрата. Разлагая в ряд и подбирая надлежащим образом произвольную постоянную в правой части, получаем:

Оставляя в этом разложении два, три или четыре члена, вместо квадрата получаем контуры, указанные на рис. 42, 43, 44.

Рис. 42.

Рис. 43.

Рис. 44.

Мы видим, что уже три члена дают достаточно хорошее приближение. В цитированных работах Г. Н. Савина подробно рассмотрены также случаи прямоугольных отверстий с различными отношениями сторон.

Для того чтобы больше не возвращаться к этому вопросу, упомянем здесь же, что указанный выше прием может быть также применен к полубесконечным областям, которые будут рассмотрены в следующем отделе этой главы.

Отметим, наконец, что указанный выше прием приближенного решения может быть с успехом применен и к случаю областей, ограниченных несколькими контурами, если соединить его с так называемым «альтернированным методом» («алгорифмом Шварца») или методом последовательных приближений, аналогичным тому, который был применен Шварцем к решению задачи Дирихле.

Этот метод позволяет свести решение данной граничной задачи для области, ограниченной несколькими контурами, к последовательному решению такой же задачи для нескольких областей, ограниченных одним

контуром каждая, при последовательно изменяющихся граничных заданиях. Точное решение требует бесконечного числа таких операций, но можно получить практически пригодное приближенное решение, если остановиться на определенном этапе.

Каждую отдельную задачу для областей, ограниченных одним контуром, можно также решать приближенно, пользуясь указанным выше приемом.

Описанный только что метод последовательных приближений разработан С. Г. Михлиным [5, 9, 13] и Д. И. Шерманом [5]; изложение результатов можно найти в книге С. Г. Михлина [13]. Отметим также работы А. Я. Горгидзе [1, 2]. Доказательство сходимости алгорифма Шварца при весьма общих условиях дано С. Л. Соболевым [2].

Метод последовательных приближений был применен С. Г. Михлиным [4] к решению первой основной задачи для полуплоскости с эллиптическим вырезом. Другим способом эта задача решена Д. И. Шерманом [4].

Отметим, наконец, сравнительно недавно опубликованные работы Д. И. Шермана [24—26], в которых даны новые удачные приемы эффективного решения некоторых граничных задач, представляющих значительный практический интерес.