§ 68. Граничные значения интеграла типа Коши. Формулы Сохоцкого — Племеля.

От значения интеграла типа Коши

на самой линии интегрирования, рассмотренного в § 67, следует отличать его граничные значения, т. е. пределы при стремлении z к точке линии слева или справа от Относительно этих граничных значений имеет место следующее важное предложение.

Если функция заданная на удовлетворяет условию в окрестности точки линии отличной от ее концов, то интеграл непрерывно продолжим на как слева, так и справа; иначе говоря, существуют граничные значения

Эти граничные значения определяются формулами

где в правых частях фигурируют главные значения интеграла.

Формулы (2) и (3) можно заменить эквивалентными им формулами

Формулы, эквивалентные предыдущим, были впервые даны Сохоцким [1], который, впрочем, при доказательстве ограничился случаем, когда прямолинейный отрезок, стремится к по нормали к Долгое время спустя формулы (2), (3) или, что все равно, (4), (5) были найдены Племелем (Plemelj [1]), который доказал их при тех же примерно предположениях, которые приняты нами здесь.

Поэтому мы будем называть формулы (2) — (5) формулами Сохоцкого — Племеля.

Далее имеет место следующее предложение.

Если функция удовлетворяет условию на некоторой части линии то граничные значения также удовлетворяют условию на за исключением, быть может, сколь угодно малых окрестностей концов части (если таковые имеются).

Это предложение было впервые дано Племелем (Plemelj [1]) и уточнено И. И. Приваловым.

Доказательство формул и предложений настоящего параграфа можно найти в книгах И. И. Привалова [1], А. И. Маркушевича [1] и в книге автора [25].

Замечание 1. Формула (4) есть следствие формул (2) и (3), которые получены в предположении, что удовлетворяет условию в окрестности точки Но ее можно распространить (в известном смысле) и на случай, когда лишь непрерывна в окрестности точки Проведем через некоторую прямую не совпадающую с касательной к и возьмем на этой прямой две точки с той и другой стороны от так, чтобы точка была серединой отрезка Тогда, если функция непрерывна (на в окрестности точки то разность

стремится к пределу при (при условии, что точки и находятся все время на равных расстояниях от

Если поэтому под условно подразумевать только что указанный предел, то формула (4) может считаться справедливой и при указанном выше условии насчет

Это обстоятельство также отмечено Племелем доказательство можно найти в книге автора [25]; можно также показать, что стремление к пределу происходит равномерно (по отношению к положению точки на некоторой достаточно малой части если нетупой угол между прямой и касательной к в точке не меньше некоторого фиксированного острого угла (доказательство см. там же).

Замечание 2. Из сказанного в предыдущем замечании непосредственно вытекает следующее предложение: если функция непрерывна на в окрестности точки и если существует граничное значение то существует и граничное значение и эти граничные значения связаны соотношением (4).

Замечание 3. В противоположность тому, что было сказано в замечании 3 к предыдущему параграфу, для существования граничных значений недостаточно предположить, что функция удовлетворяет условию лишь в данной точке (см. § 65, п. 3, замечание), а не во всей (впрочем, сколь угодно малой) окрестности ее (на Однако и при таком предположении существуют пределы функции при стремлении слева или справа, если считать, что это стремление происходит по путям не касательным к а не по произвольным путям.

Замечание 4. Пусть простая разомкнутая дуга, концы которой мы обозначим через в предположении, что положительное направление на ведет от а к Легко выяснить, как ведет себя функция вблизи этих концов, если считать, что удовлетворяет условию в окрестности рассматриваемого конца (включая этот конец).

Действительно, предположим сперва, что Тогда, продолжив линию за конец а, например отрезком касательной, и положив на

добавленной части мы придем к случаю, когда точка а не является уже концом. Поэтому, применяя сказанное выше, легко заключаем, что стремится к определенному пределу, когда z стремится по любому пути к концу а. Если же то, переписав формулу (1) в виде

легко заключаем на основании предыдущего, что вблизи точки а

где стремится к определенному пределу при Аналогично для конца

где стремится к определенному пределу при

Сказанное непосредственно переносится на случай, когда линия имеет в своем составе произвольное число разомкнутых дуг