V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОБОБЩЕННОМУ БИГАРМОНИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ

В этом отделе мы коснемся двух вопросов, на первый взгляд имеющих мало общего между собой, но на самом деле тесно связанных, так как оба приводят к рассмотрению некоторого уравнения четвертого порядка, представляющего обобщение бигармонического уравнения.

§ 163. Плоская статическая задача теории упругости для анизотропных тел, обладающих плоскостью упругой симметрии.

Об этой задаче кратко упоминалось в § 104 основного текста книги. Здесь мы скажем о ней несколько более подробно.

Методы теории функций комплексного переменного, как показал впервые С. Г. Лехницкий (его работы были опубликованы в тридцатых годах; см., например, [1]), применимы и к случаю однородного анизотропного тела, имеющего в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную данной плоскости, которую мы примем за плоскость Если тело подвергается плоской деформации, параллельной этой плоскости, то функция напряжений (функция Эри) удовлетворяет вместо бигармонического уравнения более общему уравнению (имеется в виду случай отсутствия объемных сил):

где действительные постоянные, зависящие от упругих свойств рассматриваемого тела (аналогичное уравнение имеет место и для обобщенного плоского напряженного состояния пластинки).

И в этом случае удается построить общее представление решения плоской теории упругости при помощи двух функций комплексных переменных. Это представление существенно зависит от корней так называемого характеристического уравнения

Как показал С. Г. Лехницкий, это уравнение не имеет действительных корней.

Если уравнение (2) имеет кратные корни

то общее действительное решение уравнения (1) представится в виде

как в случае изотропного тела, но на этот раз комплексное переменное z имеет вид

где обозначает область, занятую телом.

Произведя аффинное преобразование

мы придем к обычному комплексному переменному

изменяющемуся в области получаемой из области аффинным преобразованием (4).

Формула (3) и вытекающие из нее выражения для компонент напряжения и смещения, которые мы не приводим, показывают, что этот случай [т. е. случай кратных корней уравнения представляет собою почти полную аналогию со случаем изотропного тела, и поэтому мы на нем не останавливаемся.

В случае, когда уравнение (2) не имеет кратных корней, т. е. имеет четыре различных попарно сопряженных корня:

общее действительное решение уравнения (1) представляется в виде

при помощи двух аналитических функций переменных

которые можно заменить обычными комплексными переменными

изменяющимися соответственно в областях полученных из области соответствующими аффинными преобразованиями, аналогичными преобразованию (4); контуры этих областей мы обозначим соответственно через Мы для простоты предполагаем область занятую телом, односвязной.

Мы видим, что рассматриваемый случай значительно сложнее, чем случай изотропного тела, так как здесь приходится иметь дело с функциями двух различных комплексных переменных, изменяющихся в двух различных областях. Однако и в рассматриваемом случае удается получить решения граничных задач при помощи методов, аналогичных изложенным в основном тексте книги, но более сложных. Ряд важных результатов в этой области принадлежит С. Г. Лехницкому, С. Г. Михлину, Г. Н. Савину, Д. И. Шерману и др.

Мы ограничимся указанием одного общего и важного результата. В общем случае первая и вторая основные граничные задачи сводятся

к решению следующей граничной задачи теории функций комплексное переменного: найти две функции

аналитические, соответственно, в областях по следующему граничному условию:

где определенные постоянные; заданная функция точки контура точка контура соответствующая точке Основная смешанная задача сводится также к задаче вида (6), но в этом случае коэффициенты и являются кусочно-постоянными, а функция задана с точностью до кусочно-постоянного слагаемого, не определенного заранее.

Применяя конформное отображение областей на заданную область скажем на единичный круг (в случае, когда область односвязна), получаем граничную задачу вида

где — заданные функции на границе области (при этом функция переводит контур в самого себя взаимно-однозначно), а искомые аналитические функции в области 2.

Граничная задача (7) или (6) принадлежит к типу задач, которые называются «задачами сопряжения со сдвигом», так как точки, в которых сопрягаются граничные значения искомых функций, сдвинуты друг относительно друга. Задачи этого типа хорошо изучены за последнее время Д. А. Квеселава, Н. П. Векуа (см., например, второе издание книги Н. И. Мусхелишвили [25]) и др.

С такой точки зрения основная смешанная задача плоской теории упругости анизотропного тела изучена Г. Ф. Манджавидзе [3].