§ 58. Некоторые случаи равновесия бесконечной пластинки со вставленной круговой шайбой из другого материала.

При помощи простого видоизменения формул, полученных в § 56а, легко решить ряд задач, важных с точки зрения технических приложений, касающихся равновесия бесконечной пластинки с круговым отверстием, заполненным шайбой из того же или из другого материала (также однородного и изотропного).

Для решения некоторых из этих задач нам придется воспользоваться решением задачи о равновесии упругой круглой (сплошной) шайбы под влиянием равномерного нормального давления, распределенного по обводу. Это решение уже указано нами для шайбы произвольной формы в § 41а ; для нашего случая его, конечно, можно сразу получить из формул § 54, но проще всего воспользоваться тем фактом, что условия задачи будут, очевидно, удовлетворены, если положить:

(во всей шайбе), где обозначает величину постоянного давления, приложенного к обводу.

Легко проверить, что функции соответствующие напряженному состоянию (1), имеют вид (если отбросить несущественные произвольные слагаемые, влияющие только на жесткое перемещение):

Полярные компоненты напряжений и смещений легко вычисляются по формулам (4) и (3) § 39, которые дают:

Перейдем теперь к решению намеченных задач.

1. Бесконечная пластинка с круговым отверстием, в которое вложена упругая круговая шайба, имевшая первоначально несколько больший радиус. Мы будем предполагать, что трение между шайбой и пластинкой отсутствует, так что взаимодействие этих тел сводится к нормальному давлению на обводы шайбы и отверстия. Ввиду полной симметрии давление это будет постоянным вдоль контуров. Поэтому очевидно, что решение нашей задачи может быть составлено из решения примера 3 § 56а — для пластинки с отверстием и из только что полученного решения (3), (3) — для шайбы, если удастся вычислить величину давления которое оказывают друг на друга пластинка и шайба.

Пусть шайба имела в недеформированном состоянии радиус где радиус отверстия в пластинке до деформации. Будем отмечать значком все элементы (упругие постоянные, компоненты напряжения и пр.), относящиеся к шайбе. Например, будет обозначать радиальное смещение точки шайбы, тогда как радиальное смещение точки окружающей пластинки.

Из условия задачи вытекает, что после того, как шайба вложена в отверстие, вдоль общей границы шайбы и пластинки должно быть:

Но на основании формул (7) § 56а и формул (3) настоящего параграфа мы имеем:

Полагая в этих выражениях и подставляя их в соотношение (4), находим:

откуда и получаем значение Р:

Таким образом, задача решена.

В случае абсолютно жесткой шайбы, вместо соотношения (4), мы удем иметь условие

откуда, так же, как и выше, получаем:

Это же значение мы получили бы, полагая, что в формуле конечная величина.

В этом случае формулы (7) § 56а дают для пластинки:

2. Растяжение пластинки со вложенной или впаянной жесткой шайбой. В § 56а (пример 1) мы получили решение задачи о растяжении пластинки, ослабленной круговым отверстием радиуса Функции дающие решение этой задачи, могут быть переписаны так:

где

Напряжения и смещения, соответствующие этим функциям каковы бы ни были действительные постоянные легко вычисляются на основании формул (4) и (3) § 39 (ср. аналогичные вычисления в § 56а):

и

Если постоянные имеют только что указанные значения то мы получаем найденное раньше решение задачи растяжения пластинки, ослабленной круговым отверстием. Придавая же этим постоянным другие (действительные) значения, можем получить решение других задач, представляющих не меньший интерес.

Так, например, легко получить решение задачи о растяжении пластинки, в которой до деформации было вырезано круговое отверстие и заполнено абсолютно жесткой шайбой того же радиуса

Предположим сперва, что жесткая шайба спаяна с окружающей пластинкой вдоль обвода. Мы можем считать, что при растяжении пластинки жесткая шайба осталась на месте; действительно, в противном случае достаточно было бы сообщить всей системе жесткое перемещение, чтобы вернуть шайбу на старое место. Тогда условия задачи выразятся формулами

Задача будет решена, если удастся так подобрать постоянные фигурирующие в формулах (9) и (10), чтобы были соблюдены условия (11). На основании формул (10) из этих условий следует:

откуда легко находим:

или, вспоминая, что

и задача решена).

Так же легко решить задачу, когда шайба не впаяна в отверстие, а вложена, предполагая, что между шайбой и окружающей пластинкой трение отсутствует. Тогда вместо условий будем иметь:

Так же, как в предыдущем примере, легко убедимся, что условия будут удовлетворены, если в формулах (9) и (10) взять:

или

и задача решена.

Следует заметить, однако, что первое из условий (13) предполагает, что материал пластинки вдоль всего обвода вплотную прилегает к шайбе, нигде не отставая от нее; при ином предположении задача делается значительно труднее. Не трудно убедиться, что при найденных в этом предположении значениях (14) для нормальное напряжение в некоторых местах обвода принимает положительные значения, т. е. что в некоторых местах шайба не давит на окружающий материал, а тянет к себе. Но это невозможно физически, ибо шайба и пластинка не спаяны.

Чтобы сделать задачу физически возможной, достаточно, например, предположить, что радиус жесткой шайбы несколько больше, чем был радиус отверстия до растяжения пластинки и до того, как в нее была вложена шайба. Решение, соответствующее этому предположению, мы получим, налагая только что полученное решение и решение, даваемое формулами (6). В этих последних формулах следует взять настолько большим, чтобы вдоль всего обвода мы имели (для решения, полученного наложением двух указанных)

3. Растяжение пластинки со вложенной или впаянной упругой шайбой. Обобщим теперь предыдущие результаты, считая, что шайба, вставленная в пластинку, тоже упругая. Упругие постоянные материала шайбы будем отмечать значком 0; также будем отмечать значком все элементы, относящиеся к шайбе.

Постараемся удовлетворить условиям задачи, считая, что в области, занятой пластинкой (т. е. при упругое равновесие определяется по-прежнему формулами (7)

а упругое равновесие в области, занятой шайбой (т. е. при формулами

где действительные постоянные, подлежащие определению.

Напряжения и смещения, соответствующие функциям даны формулами (9) и (10).

Напряжения и смещения, соответствующие функциям вычисляются по формулам § 39. После элементарных преобразований имеем:

и

Предположим сперва, что шайба впаяна в отверстие и что радиус шайбы и отверстия были одинаковы до деформации. Тогда должны быть, соблюдены граничные условия:

Подставляя в эти равенства значения, даваемые формулами (16), (17),. (9), (10), получаем уравнения, определяющие постоянные

Решая эту систему, легко получаем значения искомых постоянных:

Обратим внимание на то обстоятельство, что благодаря равенству функции характеризующие упругое равновесие

шайбы, линейны:

значит, шайба подвергается однородной деформации. В прямоугольных координатах компоненты напряжения — постоянные величины; а именно, как легко вычислить:

В направлении оси Ох шайба подвержена растягивающим усилиям; в направлении же оси растягивающим или сжимающим, в зависимости от знака разности

В предельном случае (абсолютно жесткая шайба) получаем для значения (12); в предельном случае (пустое отверстие) получаем для этих постоянных значения (8). Наконец, если то мы имеем дело со сплошной однородной пластинкой. В этом случае формулы (19) показывают, что функции характеризующие равновесие как шайбы, так: и пластинки, имеют один и тот же вид:

как и следовало, конечно, ожидать.

Перейдем теперь к случаю, когда шайба вложена в отверстие, считая, что радиусы шайбы и отверстия были одинаковы до деформации и что трение отсутствует.

Тогда, очевидно, граничные условия имеют вид:

Подставляя сюда значения, даваемые формулами (16), (17) и (9), (10), получаем:

Но

Решая эти уравнения, получаем:

Как легко видеть, значения на некоторых участках границы получаются положительными, что физически невозможно. Задачу можно

сделать физически возможной, если на полученное решение наложить решение примера 1 (ср. сказанное в конце п. 2).

Полагая в формулах или получаем для соответственно значения (8) или (14).