§ 155. Включения из того же материала.
Общий способ исследования задачи в случае, когда пластинка имеет конечное число отверстий и сопряженные между собой упругие детали изготовлены из одного и того же материала, был предложен Д. И. Шерманом [14]. Этот способ изложен в § 109 настоящей книги. Напомним для удобства некоторые относящиеся к нему положения.
Будем для простоты считать, что вставляемые в отверстия упругие детали представляют собой сплошные шайбы. Тогда, согласно упомянутому способу, рассматриваемая задача приводится к обычной плоской задаче для полной составной области, занимаемой сопряженными телами (без каких-либо условий на линиях раздела). Порядок связности составной области, очевидно, меньше порядка связности области, занимаемой пластинкой, на число вставленных в нее шайб. При этом, однако, вновь полученная задача будет соответствовать уже несколько измененным внешним усилиям. Линию раздела как бы можно устранить за счет подходящего дополнительного воздействия на всю упругую систему в целом.
В случае, когда упругие включения имеют круговую форму, поправочный член в правой части граничного условия, соответствующий фиктивному воздействию, может быть представлен в явном виде. Он имеет особенно простую форму в часто встречающемся в приложениях случае, когда скачок смещения направлен по нормали к линии раздела и величина его постоянна.
В конечном счете в случае круговых включений, заполняющих все отверстия в пластинке, метод Мусхелишвили приводит к замкнутому решению, если односвязная область, занимаемая сопряженными телами, конформно отображается на круг посредством рациональной функции.
Именно этим путем решение задачи в ряде случаев было найдено в замкнутом виде и доведено до численных результатов. При этом, наряду с задачей о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии (плоская задача), рассматривались аналогичные задачи о поперечном изгибе тонких пластинок. Ряд конкретных результатов в этом направлении дан в работах: Ю. А. Амензаде и С. А. Алескеровой [1],
Д. В. Вайнберга и А. Г. Угодчикова [1 ], П. И. Перлина и Л. Ф. Толченовой [1], А. Г. Угодчикова [1-5], Н. Д. Тарабасова [4-6] и В. В. Тунина [1].
Отметим, что в работе А. Г. Угодчикова [1] составная область может представлять собой любую конечную односвязную область плоскости комплексного переменного. Для эффективного применения метода Мусхелишвили следует здесь, разумеется, заменить рассматриваемую область другой, близкой к ней областью, соответствующей некоторому полиномиальному отображению на круг. Это приближенное отображение строится методом электрического моделирования конформных отображений, разработанных тем же автором [6].
В работе Хэмпла (Hample [1]) указано элементарное решение задачи в случае двух одинаковых круговых или же бесконечного ряда круговых периодических включений в неограниченной пластинке. Решение находится этим автором непосредственно через функцию напряжения, без привлечения аппарата комплексного переменного.
