§ 137. Изгиб поперечной силой.

Расположим оси координат так же, как и в предыдущем параграфе, т. е. возьмем начало координат в центре тяжести одного из оснований («левое основание»), а оси Ох, Оу направим по главным осям инерции этого основания относительно центра тяжести.

Рис. 60а.

Рис. 60б.

Пусть усилия, действующие на правое основание, эквивалентны одной силе приложенной к его центру тяжести и направленной параллельно оси Ох (рис. 60а, 606). Главный момент усилий, приложенных (справа) к какому-либо поперечному сечению отстоящему от левого основания на расстояние z, относительно оси, проходящей через центр тяжести этого сечения и параллельной оси Оу, будет, очевидно, определяться формулой:

где длина бруса.

Если бы на рассматриваемое сечение действовала только пара с моментом тогда мы могли бы принять на основании результата предыдущего параграфа, что

где I — момент инерции сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси Оу.

Попытаемся и теперь удовлетворить условиям задачи, приняв, что

Ясно, однако, что теперь мы не можем уже считать, что все остальные компоненты напряжения равны нулю, ибо тогда усилия, действующие на сечение, не могли бы дать главного вектора расположенного в плоскости сечения. Но все же попытаемся решить задачу, считая

Подставляя эти значения в уравнения (1) § 129, получаем:

и

Из двух предпоследних уравнений следует, что не зависят от Уравнение же (4) можно переписать так:

откуда еледует, что

некоторая функция от х и у. Подставляя выражения для компонент напряжения в уравнения совместимости (4) § 130, увидим, что первое, второе, третье и шестое из них удовлетворяются тождественно, а два остальных дают:

откуда следует, что

где через — обозначена некоторая постоянная. Замечая, что имеем тождественно:

можем написать:

где некоторая гармоническая функция.

Если обозначает гармоническую функцию, с которой сопряжена функция т. е. такую, что

тогда, очевидно, соотношения (5) могут быть написаны так:

Наконец, мы всегда можем написать:

где функция кручения, определенная выше (§ 131), а некоторая новая гармоническая функция.

Тогда будем иметь окончательно:

Легко вычислить смещения, соответствующие этим напряжениям 1). Читатель легко проверит, что следующие выражения удовлетворяют соотношениям (2) § 129:

Значит, самые общие выражения для смещений получим, прибавив еще жесткое перемещение бруса как целого.

Последняя из формул показывает, что функция должна быть однозначной, так как однозначны.

Если подставить в граничное условие на боковой поверхности

выражения (10) и принять во внимание условие (6) § 131, которому должна удовлетворять функция кручения то получим:

на границе области

Значит, для нахождения функции мы должны решить задачу Неймана, так же как и для нахождения функции кручения.

Легко видеть, что условие существования решения задачи Неймана

соблюдено в нашем случае. Действительно, если применить формулу Остроградского — Грина, левая часть обратится в

Но последний интеграл равен нулю, так как, по условию, центр тяжести находится в О.

Легко вычислить, что главный вектор внешних напряжений, приложенных к правому основанию, параллелен оси Ох и равен по алгебраическому значению. В самом деле, учитывая формулу (4), имеем:

так как последний интеграл равен нулю в силу соотношения (а).

Аналогично:

ибо первый интеграл правой части равен нулю в силу соотношения а второй — в силу того, что оси Ох, Оу являются главными осями инерции сечения

Однако, если оставить произвольным, то усилия, приложенные к этому основанию, дадут еще закручивающую пару; именно: члены, содержащие дадут пару с моментом, определяемым формулой (8) § 131, а члены, содержащие пару с моментом

Чтобы избавиться от закручивающей пары, достаточно придать такое значение, чтобы сумма указанных моментов равнялась нулю.

Члены, содержащие определяют изгиб бруса. И здесь плоскость является нейтральной плоскостью, плоскость плоскостью

изгиба. Центральная линия (т. е. линия проходящая через центры тяжести сечений) обращается в кривую, расположенную в плоскости причем радиус кривизны ее (в данной точке, определяемой координатой подчиняется тому же закону Бернулли — Эйлера:

где

обозначает момент усилий, действующих (справа) на поперечное сечение, проходящее через данную точку, относительно оси, находящейся в плоскости сечения и параллельной оси Оу.

Кроме того, члены, содержащие сообщают брусу закручивание вокруг оси Oz.

Непосредственно ясно, что в случае сечения, симметричного относительно оси будем иметь и закручивание отсутствует.

Наконец, если сила не параллельна одной из главных осей инерции основания и не проходит через его центр тяжести, то точку приложения можно все же перенести в центр тяжести, присоединив подходящую закручивающую пару, а затем разложить силу на две компоненты, параллельные главным осям инерции. Тогда искомое решение получится наложением решения задачи кручения и двух задач изгиба силами, параллельными главным осям.

Вернемся к рассмотренному выше случаю. Вместо функции можно ввести сопряженную с ней функцию определяемую равенствами:

Тогда, принимая во внимание соотношение [ср. § 132, формула (2)]

получим для граничное условие:

где обозначают, как в § 132, замкнутые контуры, входящие в состав границы области постоянные и

где интегралы взяты начиная от произвольной точки этого контура до переменной точки Замечая, что

можем предыдущую формулу заменить следующей:

Так как последний интеграл, будучи распространен на весь контур вообще говоря, не равен нулю, то функция будет многозначной. Но в случае односвязного сечения, ограниченного одним замкнутым контуром интеграл, взятый по всему контуру будет равен нулю и будет однозначной функцией, как и следовало ожидать.

Иногда удобно так же, как и в случае кручения, рассматривать функцию комплексного переменного