§ 109. Одно приложение.

Укажем здесь одно интересное приложение формулы (7) § 108, данное Д. И. Шерманом [14]. Пусть дано упругое тело, представляющее собой пластинку, с некоторым числом отверстий и пусть в эти отверстия вставлены сплошные шайбы из того же материала, контуры которых при ненапряженном состоянии были несколько отличны от контуров соответствующих отверстий. Предполагается при этом, что контуры вставляемых шайб и соответствующих отверстий приводятся в соприкосновение без зазоров и спаиваются между собою (или удерживаются от скольжения друг по другу силами трения).

Полученное таким образом тело мы обозначим через о о, а его границу через Мы будем считать, что простой замкнутый контур.

Обозначим, далее, через совокупность контуров отверстий, в которые вставлены шайбы.

Пусть при наших обычных обозначениях функции, определяющие упругое равновесие тела Эти функции определены в каждой из областей, на которые разбивается область линией и голоморфны в них; однако они претерпевают разрывы при переходе через

Мы будем считать, что заданы внешние усилия действующие на границу тела кроме того, скачки смещения при переходе через линии раздела, иначе говоря, значения разностей:

Заданные функции зависят от очертаний, которые имели отверстия и вставленные в них шайбы до деформации, и от способа,

которым были приведены в соприкасание точки краев шайб и окружающего тела перед спайкой.

При этих предположениях мы будем иметь следующие граничные условия:

где при наших обычных обозначениях

— заданные функции.

Условие (2) выражает, что заданы внешние напряжения, действующие на границу тела Условие (3) выражает то, что напряжения, действующие с той и другой стороны на элементы линий раздела, уравновешивают друг друга. Наконец, условие (4) выражает, что заданы скачки смещений на линии раздела.

В сущности, условие (2) должно быть удовлетворено лишь с точностью до произвольной постоянной; аналогично, условие (3) должно быть удовлетворено лишь с точностью до произвольных постоянных на каждом из замкнутых контуров, составляющих Но легко видеть, что эти постоянные можно включить в искомые функции. Складывая равенства (3) и (4), получаем:

Далее, переходя в условии (3) к сопряженным значениям и принимая во внимание условие (6), находим:

где положено:

таким образом, заданная на функция.

Из условий (6) и (7) получаем на основании сказанного в замечании в конце предыдущего параграфа:

где функции, голоморфные в Полагая для сокращения письма

будем иметь:

голоморфные в функции подлежат определению, тогда как известные кусочно-голоморфные функции, определяемые формулами (10).

Внося выражения (11) в граничное условие (2), получаем:

где

— заданная на функция.

Мы пришли, таким образом, к обычной первой основной задаче для тела

Найдя мы найдем по формулам (9) или, что все равно, (11).

Мы видим, следовательно, что рассматриваемая задача непосредственно приводится к обычной первой основной задаче для той же области

Если на заданы не напряжения, а смещения, то тем же путем мы придем к обычной второй основной задаче.

В случае, когда материалы шайб и окружающего тела имеют различные упругие свойства, дело обстоит иначе; о решении граничных задач для этого случая говорилось выше.