§ 160. Различные специальные вопросы.

Недавно С. М. Белоносову [1-3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек 1). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром отображается на правую полуплоскость плоскости вспомогательного переменного Затем для искомых комплексных потенциалов регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в § 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредгольмовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина- и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе С. М. Белоносова 12] рассмотрен с доведением до численных расчетов пример клина, когда к одной из его граней на некотором расстоянии от вершины приложена сосредоточенная нагрузка. Аналогичная задача была также решена в статье Годфри (Godfrey [1]) с помощью преобразования Меллина.

Тем же путем, при помощи конформного отображения на круговое кольцо и последующего (не взаимно-однозначного) отображения на правую полуплоскость Белоносов построил в другой работе (4] аналогичные интегральные уравнения для произвольной двусвязной области. Детальное изучение этих уравнений, проведенное на примере кругового кольца, позволило автору построить для этого случая решения в замкнутой форме (в квадратурах) обеих основных задач. Найденное

решение второй задачи сравнивается с известным в литературе решением той же задачи в степенных рядах.

Следует отметить, что в ряде случаев, представляющих интерес для приложений, те или иные интегральные уравнения, служащие цели общих исследований граничных задач, могут быть непосредственно применены и к построению эффективного решения. Мы имеем в виду прежде всего возможности, доставляемые уравнениями Лауричелла — Шермана (§ 101). Идея практического применения интегральных уравнений основывается на следующем соображении.

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) § 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4].

Хиллом (Hill [1]) для несжимаемого материала была обнаружена любопытная зависимость между решениями первой и второй основных плоских задач. Пусть решение задачи о плоской деформации, например, при некоторых, заданных на границе среды внешних усилиях Тогда, как показал Хилл, упругие смещения точек контура соответствующие комплексным потенциалам могут быть определены непосредственно по заданным минуя решение самой задачи. Решение первой задачи, таким образом, всегда может быть приведено к решению второй, сопряженной в указанном смысле задачи теории упругости. При том же предположении относительно упругих свойств материала имеет место, разумеется, и обратная зависимость.