§ 71. Об интегралах типа Коши по бесконечной прямой.

До сих пор мы рассматривали лишь интегралы, взятые по конечным линиям. Не представляет никакого труда распространить определение интегралов типа Коши на случай, когда линия интегрирования простирается в бесконечность; следует добавить лишь рассмотрение вопроса о сходимости таких интегралов, связанного с тем, что интегрирование производится в бесконечных пределах.

В дальнейшем нам придется иметь дело лишь с тем случаем бесконечной линии интегрирования, когда она представляет собой прямую. Не нарушая общности, можно считать, что линия интегрирования — действительная ось. Этот случай мы и рассмотрим подробнее.

Итак, пусть теперь обозначает действительную ось. Рассмотрим интеграл типа Коши:

в данном случае действительная переменная, пробегающая все действительные значения, функция (вообще комплексная) действительной переменной

где действительные функции. Мы будем всегда считать (если противное не оговорено), что функция абсолютно интегрируема в обычном смысле на всяком конечном отрезке прямой

Будем считать пока, что точка z не расположена на Интеграл (1) будет наверное сходящимся, если при достаточно больших имеет место неравенство

где положительные постоянные. Действительно, в этом случае при больших подынтегральная функция будет порядка и наше утверждение делается очевидным на основании известного критерия сходимости интегралов с бесконечными пределами.

Но в дальнейшем нам придется иметь дело с более общим случаем, когда при стремится к конечному пределу с, одному и тому же при . Этот предел с мы можем обозначить через

Будем считать, что при достаточно больших имеем:

В этом случае при интеграл (1) будет расходящимся, т. е. выражение

не будет стремиться к определенному пределу, когда стремятся соответственно независимо друг от друга. Действительно, имеем:

Элементарное рассмотрение показывает, что

где а обозначает угол заключенный между прямыми, соединяющими точку z с точками (рис. 32), а расстояния точки соответственно до При этом знак (+) берется в случае, когда z находится в верхней полуплоскости, а знак (-), когда в нижней полуплоскости.

Если стремятся (независимо друг от друга) соответственно то а стремится к но не стремится ни к какому пределу.

Рис. 32.

Значит, предыдущий интеграл не будет стремиться ни к какому пределу, и то же можно сказать относительно левой части ибо первый интеграл правой части — сходящийся на основании условия (3). Однако если увеличивать не независимо друг от друга, а считать, что все время то стремится к нулю, и на основании предыдущего будем иметь:

Выражение, стоящее в левой части, называется, по Коши, главным значением интеграла

взятого между бесконечными пределами. В дальнейшем, применяя интегралы с бесконечными пределами, мы будем подразумевать главные их значения, если эти интегралы не существуют в обычном смысле.

Как мы видели, при соблюдении условия (3) главное значение существует, причем

где в левой части фигурирует главное значение, а в правой — интеграл в обычном смысле; знак берется для z в верхней, а знак (-) для z в нижней полуплоскости.

Таким образом, термин «главное значение» мы применяем в двух различных, но аналогичных смыслах: когда подынтегральная функция обращается в бесконечность в некоторой точке (как в предыдущих параграфах) и когда пределы интегрирования бесконечны.

Предположим теперь, что точка расположена на самой линии интегрирования, т. е. на действительной оси Тогда под интегралом

мы будем понимать его главное значение в обоих указанных смыслах, т. е. будем определять главное значение так:

если указанный предел существует (ей стремятся к своим пределам независимо).

В частности, как легко видеть,

Ясно, что главное значение (6) наверное существует, если соблюдено условие (3) и если удовлетворяет условию в окрестности точки

Легко видеть на основании что при соблюдении указанных условий главное значение (6) можно представить любой из следующих формул:

и

где в правых частях можно подразумевать главные значения лишь в одном из указанных выше смыслов, а именно: интеграл в правой части можно рассматривать в первом случае как предел:

так как оба интеграла в фигурных скобках — сходящиеся; во втором же случае — как предел обычного интеграла:

так как подынтегральная функция интегрируема в окрестности в обычном смысле.

Пусть удовлетворяет условию (3) и, разумеется, условию абсолютной интегрируемости, наложенному с самого начала. Тогда функция определяемая формулой

будет, очевидно, голоморфна как в верхней, так и в нижней полуплоскости (но, вообще говоря, не на Будем обозначать эти полуплоскости соответственно через граница не причисляется ни к ни к Формулы Сохоцкого — Племеля и теоремы о граничных значениях, высказанные в § 68, без всякого труда переносятся на рассматриваемый здесь случай. Именно, если точка на (расположенная на конечном расстоянии) и удовлетворяет условию в окрестности этой точки, то

здесь, напоминаем, обозначают пределы при стремлении по любым путям соответственно слева и справа от т. е. в нашем случае из или из Если, далее, удовлетворяет условию на некотором отрезке прямой то удовлетворяют условию на этом отрезке, за исключением, быть может, окрестностей концов отрезка.

Далее, сказанное в замечаниях в конце § 68 остается справедливым и для нашего случая.

Для того, чтобы убедиться в справедливости формул (8), (9) и сказанного после них, достаточно, например, представить интеграл (7)

в виде (5) и разбить интеграл в правой части на два, один из которых распространен по конечному отрезку, содержащему точку а другой — по остальной части прямой.

До сих пор, говоря о поведении функции вблизи точек границы и о граничных значениях, мы имели в виду точки границы, расположенные на конечном расстоянии. Для того, чтобы изучить поведение функции и ее граничных значений вблизи бесконечно удаленной точки, можно, например, поступить следующим образом. Произведем замену переменной:

При этой замене бесконечно удаленная точка плоскости z переходит в точку плоскости наоборот, действительная ось плоскости z переходит в действительную ось плоскости верхняя полуплоскость переходит в верхнюю, нижняя — в нижнюю. Когда точка пробегает действительную] ось в положительном направлении от до соответствующая ей точка

плоскости пробегает также действительную ось, тоже в положительном направлении в такой последовательности: от до далее, от до (точки и представляют собою одну и ту же точку плоскости

Производя в формуле (7) замену переменной (10), а также замену переменной интегрирования (10) и вводя обозначения

получаем:

Считая временно (для некоторого упрощения рассуждений), что удовлетворяет условию в точке можем, как легко видеть, переписать предыдущую формулу так:

все предыдущие интегралы понимаются в смысле главных значений по Коши. Второй интеграл правой части предыдущей формулы есть величина постоянная, и поэтому изучение функции вблизи точки

сводится к изучению интеграла

вблизи точки т. е. к знакомому нам вопросу.

Для того, чтобы непосредственно воспользоваться уже известными результатами, наложим на функцию такое условие, чтобы функция удовлетворяла условию в окрестности точки т. е. условию

Это приводит к условию относительно

при достаточно больших Условие (14) мы будем называть условием для окрестности бесконечно удаленной точки. Заметим, что условие (3) есть, очевидно, следствие условия (14) для окрестности бесконечно удаленной точки, но не обратно. Условие (3) можно назвать условием для точки (а не для ее окрестности).

Считая, что удовлетворяет условию в окрестности точки т. е. условию (14), покажем, что существуют граничные значения функции когда z уходит в бесконечность по любому пути, оставаясь все время в верхней или нижней полуплоскости. Эти граничные значения мы будем обозначать соответственно через Для того, чтобы показать их существование и вычислить их, обратимся к формуле (13).

Если оставаясь в верхней или нижней полуплоскости, то оставаясь также в верхней или нижней полуплоскости. Поэтому, применяя к первому интегралу правой части (13) формулу (8), получаем:

откуда непосредственно вытекает первая из следующих формул:

вторая из этих формул доказывается совершенно аналогично.

Очевидно, что принятое временно предположение относительно поведения функции вблизи точки можно отбросить.

Отметим еще следующие свойства интеграла определяемого формулой (7). Предположим, что вблизи бесконечно удаленной точки не только функция но и произведение удовлетворяет условию Тогда произведение стремится к определенным пределам, когда по любым путям, оставаясь все время в верхней или нижней полуплоскости. В самом деле, полагая

имеем;

откуда на основании формул (15) находим:

где верхний и нижний знаки берутся соответственно для верхней и нижней полуплоскости.

Эта формула может быть записана и так: в каждой из полуплоскостей

где А — постоянная (могущая иметь различные значения в различных полуплоскостях), а о обозначает, как всегда, величину, такую, что стремится к нулю, когда беспредельно возрастает.

Аналогично можно показать, что если наряду с и произведение

удовлетворяет условию в окрестности бесконечно удаленной точки, то в каждой из полуплоскостей имеем для производной

где А — постоянная, та же, что и в формуле (18). При доказательстве мы можем, как легко видеть, ограничиться случаем, когда существует

непрерывная производная для всех значений а не только в окрестности бесконечно удаленной точки.

Путем интегрирования по частям получаем:

откуда, замечая, что

легко выводим:

Переходя к пределу получаем на основании формул (15):

и легко проверить, что правая часть совпадает с правой частью формулы (17), взятой с обратным знаком.

Точно так же легко показать, что если, кроме произведений (16) и (19), и произведение

удовлетворяет условию в окрестности бесконечно удаленной точки, то

где А обозначает ту же постоянную, что и выше.

Полученные результаты мы можем кратко формулировать так: при указанных условиях обе части равенства (18) можно дифференцировать, причем допускается дифференцирование под знаком о.

Обобщение на производные любого порядка очевидно; но нам не придется иметь дела с производными выше второго порядка.