§ 62. Температурные напряжения в полом круговом цилиндре.
Так как задача о дислокации кругового кольца решена (§ 60), то на основании результатов § 46 задача о деформации полого цилиндра, поперечное сечение которого представляет круговое кольцо, установившимся плоским потоком тепла должна также считаться решенной. Мы ограничимся рассмотрением одного простого приложения.
Будем придерживаться обозначений § 46. В нашем случае область 
ограничена двумя линиями 
представляющими собой концентрические окружности радиусов 
с центром в О.
Предположим, что рассматриваемый полый цилиндр нагревается установившимся потоком тепла, причем 
при 
при 
где 
постоянные, 
расстояние точки 
до начала координат. Тогда, как легко проверить (см. замечание в конце параграфа), 
Отсюда, обозначая через 
то же, что в § 46, и отбрасывая чисто мнимую произвольную постоянную, получаем:
Значит, в нашем случае согласно формуле (6) § 46 будем иметь (отбрасывая опять постоянную):
Мы видим, что в рассматриваемом случае (при обозначениях § 46 у нас только один внутренний контур 
Значит, мы получим решение «вспомогательной» задачи (§ 46), если в формулах (9) и (10) § 60 положим [см. формулы (16) § 46]:
Так как напряжения 
во вспомогательной задаче те же, что и в данной, то эти напряжения получатся непосредственно из формул (10) § 60 при только что указанном значении 
Таким образом, мы получаем хорошо известные формулы. Чтобы вычислить смещения, следует найти смещения 
вспомогательной задачи (что требует самых элементарных выкладок). Тогда 
будут даны формулами (8) § 46 и формулой (3) настоящего параграфа.
Замечание. Сделаем еще несколько указаний, касающихся рассматриваемого здесь случая, т. е. когда сечение — круговое кольцо.
Если температура 
не дана непосредственно, а заданы только ее значения на окружностях и 
то ее можно вычислить таким образом. По определению функции 
имеем:
причем на основании формулы (12) § 46, взяв 
получаем;
где А — действительная постоянная.
Функция 
должна быть определена по граничным условиям:
где 
заданные значения температуры 
на контурах и 
Мы представим эти функции разложенными в комплексные ряды Фурье:
Тогда граничные условия напишутся так:
Значит, будем иметь:
Из уравнений (9) определяются 
т. е. удвоенная действительная часть 
каждая пара уравнений (10) определит 
и (достаточно, чтобы определить все коэффициенты, придавать к только значения 
Мнимая часть 
останется, как и следовало ожидатьг не определенной, и ее можно задать произвольно.
Например, если 
при 
при 
где 
постоянные, мы будем иметь:
Тогда мы получим для 
как раз формулу (2).
Заметим еще следующее важное обстоятельство: многозначные члены в функции 
могут произойти только от члена 
и члена 
в разложении (7). Постоянные же 
определяются, как это показывают формулы (9), (10), исключительно величинами 
Следовательно, характеристики дислокации во вспомогательной задаче, а поэтому и напряжения 
в исходной задаче зависят исключительно от величин
или, что все равно, от величин
