ГЛАВА ПЕРВАЯ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ УПРУГОГО ТЕЛА

В этой вводной главе мы напоминаем основные понятия математической теории упругости, даем вывод полной системы уравнений механики упругого изотропного тела и доказываем некоторые основные предложения относительно этих уравнений.

Предполагается, что читатель хотя бы отчасти знаком с физическими основами теории упругости, и потому мы не вдаемся подробно в эту сторону дела. Все сказанное в отделах I и II настоящей главы относится ко всякого рода телам, которые можно, с достаточным приближением, рассматривать как «сплошные» (жидкости, упругие и пластические тела и пр.). Только начиная с отдела III вводятся предположения, характеризующие (идеальное) упругое тело как таковое.

Во всей этой главе координаты считаются прямоугольными, прямолинейными.

I. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

§ 1. Объемные силы.

В механике сплошных тел различают двоякого рода силы: объемные силы, относимые к элементам объема (или массы) тела, и силы напряжения, действующие на поверхностные элементы, которые можно (мысленно) провести внутри тела или выделить на его

поверхности. Чтобы пояснить это подробнее, вообразим себе, что из рассматриваемого сплошного тела выделена мысленно часть V произвольной формы, ограниченная поверхностью Мы принимаем, что совокупность внешних сил, действующих на выделенную часть V, можно представить состоящей из сил объемных (типичный пример — сила тяжести) и сил поверхностных (пример — давление).

Займемся сперва объемными силами. Объемные силы действуют на различные элементы объема тела, вернее — на массы, заключенные в этих элементах объема. При этом принимается, что сила, действующая на бесконечно малый элемент объема имеет вид где некоторый конечный вектор; за точку приложения вектора можно принять любую точку (х, у, z) элемента.

Вектор называется объемной силой, рассчитанной на единицу объема. Если обозначает плотность в данном месте тела (количество массы в единице объема), то вектор будет объемной силой, рассчитанной на единицу массы.

В случае силы тяжести вектор направлен вертикально вниз и равен по величине где ускорение силы тяжести.

Вообще говоря, вектор зависит от положения в теле элемента объема, к которому он относится, или, иными словами, от координат х, у, z точки, около которой выделен элемент считаемый бесконечно малым. Кроме того, в случае динамическом, зависит от времени.

Замечание. Математически утверждение, что объемная сила, действующая на элемент объема может быть представлена вектором приложенным к некоторой точке элемента надо понимать в том смысле, что главный вектор объемных сил, действующих на любой конечный объем V тела, можно представить в виде тройного интеграла

а главные моменты тех же сил относительно осей прямоугольной, прямолинейной системы координат — тройными интегралами:

где обозначают компоненты вектора