ГЛАВА ШЕСТАЯ. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПУТЕМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ

Многие важные задачи теории упругости, в том числе и задачи, рассмотренные в отделах II и III предыдущей главы, могут быть чрезвычайно просто решены путем приведения к одной граничной задаче теории функций комплексного переменного, которую я называю задачей линейного сопряжения граничных значений, или, короче, задачей сопряжения. Формулировка этой задачи и ее решение для некоторых частных случаев (которые только и понадобятся нам в дальнейшем) будут даны в отделе I этой главы.

I. ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ

§ 106. Кусочно-голоморфные функции.

Пусть, как в § 65, L обозначает совокупность конечного числа простых разомкнутых дуг и простых замкнутых контуров плоскости комплексного переменного z, не имеющих общих точек; эти дуги и контуры мы будем всегда предполагать гладкими. Как в § 65, мы будем называть простой гладкой линией и будем предполагать, что на ней (т. е. на каждой дуге или контуре, входящем в ее состав) выбрано определенное положительное направление. Концы разомкнутых дуг (если таковые имеются), входящих в состав мы будем называть концами линии

Эти разомкнутые дуги мы будем часто обозначать через или, если таких дуг несколько, через выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от а к или от

Мы будем, как в § 65, различать «левую» и «правую» окрестности каждой точки расположенной на и не совпадающей с ее концами.

Обозначим через часть плоскости, полученную удалением из полной плоскости точек, принадлежащих иначе говоря, есть плоскость комплексного переменного z, разрезанная вдоль Если состоит лишь из разомкнутых дуг, то представляет собой связную область.

если же в состав входят замкнутые контуры, то состоит из нескольких связных областей, разграниченных замкнутыми контурами.

Пусть некоторая функция, заданная в (но не на удовлетворяющая следующим условиям:

1°. Функция голоморфна всюду в

2°. Она непрерывно продолжима на все точки слева и справа, за исключением, быть может, концов

3°. Вблизи концов имеет место неравенство

где с обозначает любой из концов — положительную постоянную, а постоянную, подчиненную указанному условию.

Такую функцию мы будем называть кусочно-голоморфной на всей плоскости или просто кусочно-голоморфной. Линию мы будем называть линией скачков функции или границей.

Граничные значения функции слева и справа в точке линии мы будем, как в § 65, обозначать соответственно через

Мы будем иногда рассматривать и функции, удовлетворяющие предыдущим условиям всюду, кроме конечного числа точек не расположенных на где функция может иметь полюсы (других особенностей мы допускать не будем). Тогда мы будем говорить, что функция кусочно-голоморфна всюду, кроме точек В частности, мы часто будем иметь дело с функциями, кусочно-голоморфными всюду, кроме бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс, т. е. разлагается при достаточно больших в ряд вида

Условимся еще в следующем: говоря, что обращается в нуль в некоторой точке границы не совпадающей с концом, мы будем подразумевать, что если один из концов, то мы будем говорить, что обращается в нуль в если стремится к пределу при

Замечание. Определение понятия кусочно-голоморфной функции можно, разумеется, распространить и на случай, когда функция задана не на всей разрезанной плоскости а лишь на некоторой ее части. Пусть, например, некоторая область, ограниченная одним или несколькими контурами, совокупность которых мы обозначим через и пусть совокупность замкнутых контуров и разомкнутых дуг, рассмотренная выше, целиком расположена в

Если функция заданная в (кроме точек линии удовлетворяет условиям кроме того, принимает определенные граничные значения на границе области то ее можно назвать функцией, кусочно-голоморфной в Такую функцию можно дополнить до

кусочно-голоморфной функции, заданной на всей плоскости (кроме линий положив, например, вне

В дальнейшем (если противное не оговорено) мы будем считать, что кусочно-голоморфная функция задана на всей плоскости (кроме самой линии скачков).