§ 40. Основные граничные задачи. Единственность решения.

1. Основными граничными задачами мы будем называть задачи, вполне аналогичные задачам, формулированным в § 20 для случая трех измерений, а именно следующие:

Первая основная задача (задача I). Найти упругое равновесие при заданных внешних напряжениях, приложенных к границе области

Вторая основная задача (задача II). Найти упругое равновесие при заданных смещениях точек границы

Под областью мы разумеем область рассмотренного в § 35 и § 36 вида, а под совокупность контуров (если область конечна — случай § 35) или контуров (если область бесконечна — случай § 36).

Во всем дальнейшем (если противное не оговорено) мы будем считать, что все рассматриваемые контуры — гладкие линии.

Если область бесконечна, мы будем считать, что напряжения в бесконечно удаленной части плоскости удовлетворяют условиям § 36, т. е. остаются ограниченными.

Кроме того, в случае задачи I для бесконечной области мы будем считать заданными значения этих напряжений на бесконечности, что на основании сказанного в § 36 сводится к заданию постоянных:

Так как, далее, постоянная С (напомним, что не влияет на распределение напряжений, мы будем обычно полагать

В случае задачи II для бесконечной области мы будем считать, что заданы величины:

т. е. заданы не только значения напряжений на бесконечности, но и значение вращения (см. § 36), и, кроме того, главный вектор всех внешних усилий, приложенных к границе области.

Кроме указанных задач, важную роль играет основная смешанная задача, в которой задаются смещения на одной части границы и напряжения, приложенные к другой части. В случае смешанной задачи для бесконечной области мы будем считать, что, как и в задаче II, дополнительно заданы значения В главе VI мы рассмотрим еще некоторые задачи иного типа.

Докажем, что если формулированные выше задачи допускают решение, то оно будет единственным. Для конечной области доказательство вполне аналогично доказательству, приведенному нами в общем случае

трех измерений; в случае же бесконечной области (такая область в случае трех измерений нами не рассматривалась) оно требует некоторых дополнений.

При доказательстве мы будем считать, что компоненты напряжений и смещений, соответствующих рассматриваемым решениям, непрерывны вплоть до границы (см. также замечание в конце п. 3 настоящего параграфа).

2. Начнем со случая конечной области (односвязной или многосвязной). Рассмотрим интеграл (ср. § 20)

где

обозначают компоненты напряжения, приложенного к границе внешнюю нормаль к ней.

Применяя формулу Остроградского — Грина, получаем:

Замечая, что

в силу уравнений (1) § 30, что согласно нашим обозначениям

и что, наконец,

будем иметь окончательно:

Если относятся к «разности» двух решений одной из задач I, II или смешанной, то выражение равно нулю на границе (ср. § 20). Отсюда заключаем, что двойной интеграл в правой части равен нулю. Но так как подынтегральная функция представляет собой неособенную положительную квадратичную форму, то это может быть только в том случае, если

Значит, и составленные для «разности» двух решений, равны нулю, т. е. оба решения тождественны в том смысле, что дают одинаковые напряжения и деформации.

Смещения же могут отличаться друг от друга выражениями вида

соответствующими произвольному жесткому перемещению тела в плоскости В случае задачи II и смешанной и этой разницы быть не может, так как смещения в обоих решениях должны быть одинаковы вдоль всего контура или части его.

3. Обратимся теперь к случаю бесконечной области. Предположим, как и выше, что задачи I и II или смешанная допускают два решения, и составим разность этих двух предполагаемых решений. Пусть относятся к этой разности. В случае задачи I будем иметь на границе. Значит, главный вектор всех усилий, приложенных к границе, равен нулю. В случае же задачи II или смешанной этот вектор считается по условию заранее заданным для обоих решений, поэтому он и здесь будет равен нулю для разности двух решений.

Итак, во всех рассматриваемых случаях Кроме того, величины , соответствующие разности двух решений, равны нулю, так как по заданию они одинаковы для обоих решений, если считать в случае задачи I, что мнимая часть равна нулю, на что мы имеем право, так как она не влияет на напряжения.

Применим теперь формулу (4) к конечной области, ограниченной контурами и окружностью радиуса с центром в О, охватывающей все контуры

Докажем, что

стремится к нулю, когда радиус окружности стремится к бесконечности.

Действительно, по формулам (4), (5), (7) § 36, в которых надо положить

при будем иметь:

Формула

показывает, что при этих условиях остаются ограниченными. Далее, формулы

показывают, что величины при возрастании не только стремятся к нулю, но будут порядка меньшей мере). Значит, выражение будет на окружности порядка Так как, с другой стороны, путь интегрирования в интеграле (5) равен по длине то интеграл (5) будет порядка и, значит, будет стремиться к нулю при

Таким образом, если применить формулу (4) сперва к области, заключенной между и затем увеличивать беспредельно, то интеграл в левой части будет стремиться к интегралу, взятому по границе значит, интеграл правой части будет также стремиться к пределу, который по обычному определению будет представлять собой интеграл, распространенный на бесконечную область

Итак, формула (4) справедлива для всей бесконечной области следовательно, наши заключения о единственности решения остаются в силе и для этого случая.

Замечание. В пп. 2 и 3 мы предполагали при доказательстве, что компоненты смещений и напряжений непрерывны вплоть до границы. Это предположение можно заменить значительно более общим. Мы ограничимся здесь следующим замечанием.

Приведенное доказательство останется, очевидно, в силе, если считать, что компоненты смещений и напряжений, соответствующие разности рассматриваемых решений, непрерывно продолжимы на все точки границы, за исключением конечного числа точек вблизи которых они ведут себя так, что интегралы

взятые по принадлежащим области дугам бесконечно малых окружностей, описанных из точек как из центров, стремятся к нулю вместе с радиусами окружностей.

Ниже, в § 42, теоремы единственности для первой и второй основных задач будут доказаны при несколько иных, чем в настоящем параграфе, предположениях.

4. Относительно вопроса существования решения заметим пока следующее. С точки зрения математической, первая основная задача вполне эквивалентна, по крайней мере для конечных односвязных областей, задаче равновесия упругой тонкой пластинки, заделанной по краям, при наличии нагрузки, нормальной к ее плоскости. Действительно, эта последняя задача может быть сведена к нахождению бигармонической

функции по заданным значениям ее частных производных

на границе области

К такой же математической задаче может быть сведена и наша первая основная задача (см. следующий параграф).

Задачу нахождения бигармонической функции по заданным значениям производных и на контуре мы будем называть основной бигармонической задачей. Эта задача (или эквивалентная ей задача равновесия пластинки, заделанной по краям) была предметом многочисленных исследований, особенно начиная с 1907 г., когда она была объявлена предметом премии Парижской Академии наук. Премия была получена Адамаром (Hadamard [1]), Лауричелла (Lauricella [3]), Корном (Когп [4]) и Боджо (Boggio). Указанными авторами вопрос был вполне решен для случая конечной области, ограниченной простым замкнутым контуром, удовлетворяющим некоторым условиям общего характера 2).

Применение функций комплексного переменного дало за последнее время возможность получить решение как первой, так и второй основных задач для областей, ограниченных произвольным числом замкнутых контуров. Решена также основная смешанная задача и ряд других важных общих задач. Некоторые из упомянутых общих результатов будут изложены в главе о других будут даны краткие указания.

Здесь же отметим только, что в случае конечной области первая основная задача имеет, разумеется, решение только тогда, когда главный вектор и главный момент заданных внешних усилий, приложенных к границе области, равны нулю.

Но в случае бесконечной области решение существует и тогда, когда условие это не соблюдено, даже если потребовать, чтобы напряжения на бесконечности равнялись нулю. Это объясняется тем, что если мысленно выделить часть тела, заключенную между границей области и окружностью, охватывающей эту границу, то хотя внешние напряжения, действующие на окружность, и стремятся к нулю при

беспредельном возрастании радиуса, но в совокупности они могут дать конечные главный вектор и главный момент, ибо они распределены вдоль окружности, длина которой возрастает беспредельно. Главные вектор и момент внешних усилий, приложенных к совокупности границы и окружности, всегда равны нулю.

Возвращаясь к упомянутым общим решениям основных задач, заметим, что именно в силу своей общности эти решения часто оставляют многого желать в смысле практических применений. Поэтому приходится искать частные методы решения, дающие возможность практически вычислить решения для более или менее обширных классов областей, важных с точки зрения приложений. Таким методам посвящена большая часть глав III — VI этой книги.