§ 91. Общие формулы для полубесконечных областей.

Перейдем теперь к рассмотрению полубесконечных областей и начнем с обобщения формул предыдущего параграфа на этот случай.

Пусть граница области представляющая собой простую разомкнутую линию, уходящую обоими концами в бесконечность. Линия разбивает плоскость на две части, одна из которых и есть вторую часть мы будем обозначать через Положительным направлением на мы будем считать то, которое оставляет область слева.

Мы будем считать, что линия обладает следующим свойством: если есть некоторая постоянная точка, то лучи проведенные к двум точкам на стремятся к определенным положениям, когда уходят в бесконечность, двигаясь по в противоположных направлениях.

Пусть обозначает угол (снабженный знаком), который описывает луч когда точка двигаясь по в положительном направлении, описывает всю эту линию. Мы будем говорить, что есть угол, под которым видна из Легко видеть, что значение для всех точек, расположенных по одну сторону от будет одним и тем же и что углы , под которыми видна из точек, расположенных соответственно в областях связаны соотношением

Например, если есть нижняя полуплоскость, то граница ее расположена вдоль оси но положительным направлением следует считать направление, противоположное Ох (ибо, двигаясь по I в положительном направлении, мы должны иметь область слева). Поэтому для точек нижней полуплоскости мы будем иметь а для точек верхней — будем иметь

Мы примем, что и в рассматриваемом случае полубесконечной области функции подчинены условию иметь при больших вид (ср. предыдущий параграф):

или, что, очевидно, сводится к тому же,

где некоторая (произвольная) постоянная точка области (т. е. не принадлежащая в последних формулах суть символы функций, голоморфных в и имеющих при больших указанный порядок.

К этим условиям мы присоединим еще следующие (ср. предыдущий параграф):

в этих формулах о (1) есть символ функций, голоморфных в и стремящихся к нулю, когда

Будем, далее, считать, как в предыдущем параграфе, что главный вектор внешних усилий, приложенных к дуге контура стремится

к определенному пределу когда точки уходят в бесконечность в противоположных направлениях.

В нашем случае вместо формулы (3) § 90, будем, как легко видеть, иметь:

где, как выше, есть угол, под которым видна линия из точек области а обозначают углы знаком), составляемые с осью Ох предельными положениями лучей проведенных из какой-либо неподвижной точки когда уходят в бесконечность, двигаясь по первая в отрицательном направлении, вторая — в положительном; обозначают расстояния точки соответственно до величина, стремящаяся к нулю при удалении в бесконечность. Ясно, что можно считать

Так же, как в предыдущем параграфе, заключаем, что должно быть

и что

или, принимая во внимание формулу (5),

Будем теперь считать, что т. е. что Тогда, присоединяя к формуле (6) соотношение, получаемое переходом к сопряженным значениям, и решая относительно , легко получаем

и на основании формулы (5)

Мы считали при выводе этих формул, что Если то формула (6) дает Это показывает, что при для существования решения, подчиняющегося поставленным выше условиям, необходимо, чтобы главный вектор внешних усилий, приложенных к границе, был равен нулю.