§ 75. Теорема Гарнака (Harnack).

Из результатов предыдущих параграфов почти непосредственно вытекает одна теорема, принадлежащая Гарнаку (Harnack [1]), которая часто бывает полезна.

Пусть простой замкнутый контур и пусть конечная и бесконечная части плоскости, на которые разбивается плоскость контуром (контур этот не причисляется ни к ни к Пусть действительная функция точки контура непрерывная на Тогда если

то всюду на Если же

то

В самом деле, из формулы (1) на основании сказанного в § 73 вытекает, что граничное значение некоторой функции голоморфной в т. е. Но так как действительная функция, то граничное значение гармонической в

функции равно нулю всюду на Следовательно, всюду в Поэтому должно быть значит, на

Подставляя это значение в формулу (1) и замечая, что

убеждаемся, что

Точно так же убеждаемся, что из формулы (2) следует однако здесь уже нельзя вывести заключения, что так как, подставляя в формулу получаем тождество

Таким образом, теорема доказана. Читателю предоставляется обобщить ее на случай областей, рассмотренных в предыдущем параграфе

Легко также сформулировать теорему, аналогичную предыдущей для случая, когда бесконечная прямая.

Замечание 1. Из теоремы Гарнака непосредственно вытекают следующие заключения (имеем в виду случай, когда простой замкнутый контур).

Пусть две действительные непрерывные функции, заданные на Тогда если

то если же

то

Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно применить теорему Гарнака к разности

Замечание 2. Нетрудно показать, что предыдущая теорема останется в силе, если не считать функцию непрерывной, а допустить наличие конечного числа разрывов первого рода, но мы на этом не останавливаемся. Заметим лишь, что теорема, надлежащим образом сформулированная, имеет место и при гораздо более общих условиях.