§ 128а. Примеры.

1. Круговая шайба. В этом случае можем положить:

где радиус шайбы, и граничные условия (6), (7) § 128, написанные в развернутом виде, принимают вид (мы сокращаем первое уравнение на а второе на

Дальнейшие выкладки несколько упростятся, если мы будем считать

что мы имеем право сделать, не нарушая общности.

Решая граничные задачи (1) и (3) и принимая во внимание, что функции

голоморфны при и первая из них исчезает на бесконечности, а функции

голоморфны при получаем, что внутри у

где а — постоянная. Условие (10) § 128 удовлетворено само собой, а условие § 128 дает

(множитель не фигурирует в правой части, так как выше мы произвели сокращение на

Сравнивая уравнения (5), (6) с уравнениями (14), (15) § 128, видим, что при обозначениях § 128

где для краткости положено:

На основании формул (17) и (19) § 128 имеем в нашем случае:

и на основании формулы (21) § 128

где постоянная, или еще

Нижний предел интеграла в последней формуле можно взять равным нулю, ибо, как легко видеть, вблизи начала координат разложение выражения

начинается с члена, содержащего причем, как мы знаем,

Постоянные следует определить из условия голоморфности функции внутри у и из условия (7), ибо условие (4) удовлетворено.

Очевидно, что будет голоморфной тогда и только тогда, когда ибо число не целое (оно заключено между 1 и 2).

Условие же (7) определяет действительную часть величины а; мнимая часть ее остается произвольной, как и следовало предвидеть 2). Полагая эту мнимую часть равной нулю и замечая, что правая часть формулы (7) равна —А (0), получаем:

и по формуле (10) окончательно имеем:

после чего определится по формуле (6):

легко проверить, что правая часть голоморфна в точке Таким образом, задача решена.

2. Бесконечная плоскость с круговым отверстием. Применим в этом случае отображение на область так что формула (1) остается в силе.

Если под подразумевать нормальное смещение, считаемое положительным, когда оно направлено внутрь тела, т. е. от центра, то граничные условия примут вид (по сокращении соответственно на

Будем пока считать, что главный вектор равен нулю и что напряжение и вращение исчезают на бесконечности. Тогда функции будут голоморфны при включая бесконечно удаленную точку, и при больших

кроме того, не нарушая общности, мы можем считать

Учитывая только что указанные свойства искомых функций и решая граничные задачи (13), (14), получаем для точек области

где некоторые постоянные, подлежащие определению. Их можно найти на данном же этапе. Действительно, условие (10) § 128 дает:

а условие (11) § 128 (если учесть, что мы сократили на

Кроме того, полагая в уравнениях (15) и и замечая, что

получаем:

Из предыдущих равенств легко получаем:

Сравнивая уравнения (15), (16) с уравнениями (14), (15) § 128, легко убеждаемся, что в нашем случае

где определяется формулой (9); только в нашем случае находится вне

Таким образом, мы приходим опять к уравнению (18) § 128, причем теперь

Таким образом, на основании формулы (21) § 128 будем иметь:

за нижний предел интеграла мы выбрали Это мы имеем право сделать, ибо интеграл, как легко видеть, сходящийся; с другой стороны, нижний предел можно выбирать произвольно.

Очевидно, что будет голоморфной только при условии Значит, будем иметь окончательно:

Найдя можем найти по формуле (16):

где дается формулой (17).

Мы предполагали до сих пор, что главный вектор усилий (давлений), действующих на пластинку со стороны шайбы, равен нулю. Если он отличен от нуля, то, применяя тот же прием, что и в аналогичных случаях первой и второй основных задач (ср. § 78), легко найдем, что решением будут функции:

где даются теми же формулами, что и выше, и

Легко также непосредственно проверить, что функции решают нашу граничную задачу при и при заданном главном векторе

Полученное нами решение соответствует тому случаю, когда на жесткую шайбу, вставленную в упругую пластинку, действуют внешние силы, совокупность которых эквивалентна силе приложенной к центру 2).

Так же просто решается задача для случая, когда напряжения не исчезают на бесконечности, а имеют заданные (конечные) значения.

3. Бесконечная плоскость с эллиптическим отверстием. В этом случае мы могли бы воспользоваться, как в случае первой и второй основных задач, отображением на область Однако вычисления несколько упрощаются, если произвести отображение на круг

Итак, положим:

Следовательно, в нашем случае:

Будем считать, что напряжения и вращение обращаются в нуль на бесконечности; кроме того, будем считать, что главный вектор усилий,

приложенных к обводу отверстия, равен нулю (мы всегда можем привести общий случай к этому уже не раз применявшимся способом).

При этом условии будут голоморфны внутри у и, кроме того, вблизи начала

Принимая во внимание предыдущие формулы, легко убеждаемся, что функция определяемая формулой (4) § 128, голоморфна как внутри, так и вне у (включая точку

Функция же определяемая формулой (5) § 128, может иметь в точке полюс первого порядка с главной частью

Сделаем теперь следующее замечание, которое значительно облегчит дальнейшие выкладки. Мы знаем, что, не изменяя смещений (а следовательно, и напряжений), можно прибавить к любую комплексную постоянную а и одновременно прибавить к постоянную Эту постоянную, как легко видеть, всегда можно подобрать так, чтобы

Таким образом, не нарушая общности, мы можем считать, что условие (24) соблюдено.

Тогда функция будет голоморфна при а также, как легко видеть, при включая бесконечно удаленную точку.

Поэтому в нашем случае функции формул (8), (9) § 128 попросту постоянные, которые мы обозначим соответственно через и формулы (12), (13) § 128 напишутся так:

(для ), где введено обозначение

Из условий (10) и (11) § 128 имеем соответственно:

Сравнивая уравнения (25) и (26) с уравнениями (14), (15) § 128, убеждаемся, что при обозначениях § 128:

Наконец, замечая, что в нашем случае

получаем по формуле (19) § 128:

где для краткости введено обозначение

Функция выражается формулой (21) § 128, которую теперь мы перепишем так:

где К — постоянная. Подынтегральная функция имеет внутри у только две особые точки: ибо и легко видеть, что интеграл в правой части сходящийся (не забудем, что Легко, далее, видеть, что второй член правой части (31) остается конечным при Значит, для голоморфности вблизи необходимо, чтобы Итак, мы должны иметь:

Далее, для того чтобы оставалась конечной и при очевидно необходимо, чтобы

Легко видеть, что при условии (33) правая часть (32) будет голоморфной внутри у.

Считая, что это условие соблюдено, и подставляя найденное для выражение в формулу (26), найдем выражение для которое, как легко проверить, будет также голоморфным внутри у. Нетрудно проверить также, что условие (24) будет соблюдено.

Нам остается найти постоянные фигурирующие в найденных для выражениях. Для этого у нас имеются соотношения (28) и условие (33). Мы можем считать, что интеграл в правой части (33) взят по отрезку действительной оси и что на пути интегрирования выражение

— положительная величина.

Условие (33) мы можем переписать так:

где положено:

Постоянные и действительные величины, которые мы можем считать раз навсегда вычисленными для эллипса с данным эксцентриситетом (ибо зависит лишь от эксцентриситета). Легко видеть, что

Величина может считаться также заданной, ибо функция задана.

Уравнение (34) вместе с условием (28) определяют В самом деле, вычитая из уравнения (34) уравнение, полученное переходом к сопряженным значениям, получаем:

что вместе со вторым соотношением (28) определяет После этого а найдется из соотношения (34).

Таким образом, задача решена. Легко также обобщить полученное решение на случай, когда напряжения имеют на бесконечности заданные конечные значения и когда главный вектор отличен от нуля.