§ 115. Задача давления жестких штампов при отсутствии трения.

Рассмотрим теперь задачу давления одного или нескольких жестких

штампов на границу упругой полуплоскости в предположении, что трение отсутствует. Предположим сперва для большей ясности, что мы имеем один жесткий штамп, основание которого имеет заданную форму. Пусть уравнение профиля основания штампа до того, как он стал вдавливаться в упругую полуплоскость. Если предположить, что штамп может перемещаться лишь поступательно в направлении, нормальном к границе, то профиль его основания после вдавливания будет иметь уравнение где с — действительная постоянная. Предположим, что в соприкасание со штампом вошел участок границы упругого тела. Так как точка границы упругого тела, занимавшая до деформации положение а после деформации — положение где компоненты ее смещения, должна находиться на линии то должно быть Считая, как всегда, что малые величины и что также малые величины (это предположение вытекает из требования малости деформации), будем иметь, отбрасывая малые величины высших порядков: где нормальное смещение точки границы упругой полуплоскости. Аналогично для случая нескольких штампов.

В соответствии со сказанным граничные условия задачи давления системы штампов, могущих перемещаться лишь поступательно, при отсутствии трения формулируются аналогично условиям задачи § 114, с той лишь разницей (мы применяем обозначения § 114), что теперь

а на задается лишь нормальная компонента смещения

здесь по-прежнему обозначает всю действительную ось, совокупность отрезков остальную (незагруженную) часть границы Первое из условий (1) распространяется на всю границу так как вследствие отсутствия трения касательное напряжение на границе и под штампами равно нулю.

В формуле обозначает заданную на функцию, характеризующую форму оснований штампов. А именно, уравнение где х принадлежит представляет собой уравнение совокупности профилей оснований штампов до их смещения; с определяется так: либо с на (жестко связанные штампы), либо с на (не связанные штампы), причем обозначают теперь действительные постоянные. Не нарушая общности, в первом случае можно считать а во втором, например, остальные постоянные не задаются заранее.

В первом случае дополнительно задается главный вектор внешних сил, прижимающих всю систему штампов к упругому телу, во втором — главные векторы для каждого штампа в отдельности.

Мы предполагали, что штампы могут перемещаться лишь поступательно; случай, когда они могут наклоняться, сводится к предыдущему совершенно так, как в предыдущих параграфах. В этом случае должны быть дополнительно заданы либо углы поворотов штампов, либо главные моменты внешних сил, действующих на них.

Легко показать, что поставленные таким образом задачи могут иметь лишь одно решение, если отвлечься от поступательного перемещения всей системы как жесткого целого; доказательство совершенно аналогично доказательству для случая § 114.

Заметим еще, что поступательное перемещение штампов в направлении, параллельном границе никакого влияния на упругое равновесие не оказывает (с той точностью, которой мы всегда ограничиваемся).

Мы будем считать, что удовлетворяет условию на каждом из отрезков

Граничные условия (1) показывают, как в § 114, что функция голоморфна на разрезанной вдоль плоскости. Кроме того, легко установить, что первое из условий (1) дает на основании формулы (14) § 112:

откуда следует, что функция голоморфна на всей плоскости; так как, далее, она исчезает на бесконечности, то она равна нулю всюду. Следовательно,

После этого граничное условие (2), которое мы теперь перепишем так:

дает на основании формулы (15) § 112:

Таким образом, мы пришли к граничной задаче § 110, а именно к тому частному случаю, когда Применяя формулы (31), (33) § 110, получаем:

где через обозначен произвольный полином степени не выше и

причем под подразумевается ветвь, однозначная на разрезанной вдоль плоскости, такая, что при для упрощения письма мы обозначаем просто через так что по определению

отметим еще, что

Нам следует еще удовлетворить условию (3), т. е. условию Легко проверить, что первое слагаемое правой части формулы (6) этому условию удовлетворяет; второе слагаемое будет ему удовлетворять тогда и только тогда, когда все коэффициенты полинома действительные числа.

Итак, общее решение исходной задачи дается формулой (6), где под

следует подразумевать полином с действительными коэффициентами.

Вычислим давление оказываемое штампами на границу полуплоскости. На основании формулы (14) § 112 имеем:

откуда легко получаем на основании формул Сохоцкого — Племеля:

Коэффициенты полинома могут быть определены из добавочных условий, упомянутых при формулировке задачи, аналогично тому, как это было сделано в § 114.

Остановимся, например, на случае, когда даны главные векторы сил, прижимающих отдельные штампы. Тогда должно быть

где под следует подразумевать выражение (11). Мы получим, таким образом, систему линейных уравнений с неизвестными Легко показать, опираясь на единственность решения задачи, что эта система всегда однозначно разрешима.

Мы предполагали до сих пор, что штампы могут перемещаться лишь поступательно. Как было уже сказано, случай, когда штампы могут наклоняться, легко сводится к предыдущему.