II. КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ

§ 139. Общие формулы.

1. Перейдем теперь к изучению вопроса кручения брусьев, составленных из призматических (цилиндрических) тел, сделанных из различных материалов и спаянных между собой вдоль

боковых поверхностей. Каждую составную часть мы будем предполагать однородной и изотропной.

Поперечное нормальное сечение бруса будет состоять из нескольких областей (участков) соответствующих различным материалам, разграниченных некоторыми линиями, которые мы будем называть линиями раздела. В дальнейшем, говоря о части бруса, имеющей сечением область мы будем иногда называть ее просто частью

Рис. 61.

Хотя большинство излагаемых ниже результатов справедливо в самом общем случае, мы для определенности будем иногда проводить рассуждения применительно к случаю, который будем условно называть основным, когда рассматриваемый брус состоит из ряда параллельных сплошных стержней, не касающихся друг друга и окруженных упругой средой, заполняющей пространство между стержнями и ограниченной снаружи цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны стержням.

Поперечное нормальное сечение такого бруса будет состоять из ряда раздельных областей соответствующих стержням, и области соответствующей окружающему материалу. Границу области мы обозначим через граница же области будет состоять из замкнутых контуров из которых последний содержит внутри себя все предыдущие (рис. 61).

2. Постараемся удовлетворить условиям задачи кручения, полагая, как для случая однородного бруса:

где постоянная (степень закручивания) и функция подлежат определению; эту функцию мы будем по-прежнему называть функцией кручения.

Тогда на основании формул (2) § 129 получим, что в каждой из областей будем иметь так же, как и в случае однородного бруса:

где обозначает модуль сдвига, соответствующий области остальные компоненты напряжения обращаются в нуль.

Подставив эти значения в уравнения (1) § 129, убедимся, что эти уравнения сводятся так же, как в случае однородного бруса, к уравнению Лапласа

Итак, и здесь функция должна быть гармонической в каждой из областей

Разница со случаем однородного бруса проявляется только в граничных условиях. Эти условия сводятся к следующим:

1°. Боковая (внешняя) поверхность бруса свободна от внешних напряжений.

2°. Усилия, действующие на элементы поверхностей раздела различных материалов, равны по величине и противоположно направлены.

3°. Компоненты смещения остаются непрерывными при переходе через поверхности раздела (ибо по предположению различные части бруса спаяны между собой).

Условие 1° сводится, очевидно, к следующему:

на границе области а условие 2° сводится к равенствам

на линиях раздела участков Здесь обозначает нормаль к соответствующему контуру, причем в формуле (4) подразумевается, что в обеих частях равенства нормаль направлена в одну и ту же сторону. Индексы же к указывают, что выражения, заключенные в скобки, вычисляются для материалов, находящихся соответственно в областях

В случае, который мы назвали основным, условия (3) и (4) запишутся соответственно следующим образом (при указанных в п. 1 обозначениях):

и

где под мы будем подразумевать нормаль, внешнюю по отношению к

Подставляя на место их значения (2), условия (3) и (4) можно объединить в одной формуле:

на линиях раздела, если условиться относить к линиям раздела также контуры, соответствующие свободным поверхностям, считая, что для свободного пространства.

В основном случае предыдущие условия запишутся так:

если условиться считать

Условие же 3° сводится, очевидно, к требованию, чтобы функция оставалась непрерывной при переходе из одного материала в другой.

Иными словами, функция должна быть непрерывной во всей области

включая линии раздела.

Легко показать, что если функция удовлетворяет предыдущим условиям, то главный вектор усилий, приложенных к любому из оснований, скажем к верхнему, равен нулю.

Действительно, прежде всего ясно, что (ибо всюду). Далее, принимая во внимание, что в каждой из областей

будем иметь:

Преобразовывая последние интегралы по формуле Остроградского — Грина, получаем, наконец:

где обозначают границы участков нормаль, внешнюю по отношению к областям Интегрирование по линиям раздела двух участков производится два раза, так как эти линии принадлежат границам двух областей. Выражение принимает в силу условий (4) при этих двух интегрированиях противоположные знаки, не изменяя абсолютного значения; поэтому интегралы по линиям раздела взаимно уничтожаются. Также равны нулю интегралы по линиям, составляющим границу области 5, в силу условия (3).

Таким образом, совершенно аналогично Из предыдущего следует, что усилия, приложенные к основаниям, сводятся к закручивающим парам. Момент пары, действующей на «верхнее» основание, получим, вычисляя главный момент упомянутых усилий относительно оси Oz. Именно, будем иметь очевидно:

где

есть жесткость при кручении. Легко показать совершенно аналогично тому, как это было сделано в § 131, что всегда При заданном постоянная вычисляется по формуле (6).

Итак, задача в конечном счете свелась к определению гармонической функции непрерывной во всей области нормальные производные которой заданы на границе области и имеют заданные разрывы на линиях раздела участков и те и другие задания выражаются формулами (5), если понимать их в указанном выше смысле.

В случае, названном нами основным, искомая гармоническая функция непрерывная во всей области должна быть определена по условиям (5).

3. Ограничиваясь основным случаем, мы дадим в следующем параграфе решение несколько более общей задачи, заменив условия условиями:

где обозначает функцию, заданную на контуре

В случае задачи кручения имеем:

Легко показать, что приведенные условия определяют искомую функцию с точностью до произвольной постоянной.

Действительно, имеем:

где обозначает совокупность контуров

С другой стороны, хорошо известна формула

где обозначает функцию, гармоническую в некоторой области ограниченной контуром производную по направлению внешней нормали. Принимая во внимание, что для областей при наших обозначениях является внутренней нормалью, получаем окончательно:

Из последней формулы следует, что если на всех контурах имеем

то

во всей области а следовательно,

Если теперь обозначают два решения нашей задачи, то

будет также решением, соответствующим случаю на всех контурах. Отсюда выводим:

а это и требовалось доказать.

Перейдем теперь к вопросу о существовании решения и нахождении его.

Прежде всего из условия (7) легко выводим:

откуда, принимая во внимание, что интеграл от нормальной производной гармонической в данной области функции, взятый по границе области, равен нулю, следует:

Следовательно, условие (10) является необходимым для существования решения. Оно оказывается также и достаточным, как мы увидим ниже. Условие это всегда соблюдено в случае задачи кручения, ибо если имеет форму (8), то

для каждого контура в отдельности (см. § 131). Тем более будет соблюдено условие (10).