§ 148. Главная ось растяжения и главные плоскости изгиба.

Уравнения (4) § 146 можно значительно упростить, если вместо произвольной системы координат Оху в плоскости «левого» («нижнего») основания взять некоторую другую систему Оху в той же плоскости, придав новой оси Оz то же направление, что и старой оси Oz. А именно, как мы сейчас увидим, эту новую систему координат можно подобрать так, чтобы в правых частях уравнений (4) § 146 исчезли все коэффициенты, не расположенные на главной диагонали.

Пусть обозначают постоянные, вычисленные для системы Оху так, как были вычислены постоянные для системы Легко найти формулы, выражающие величины через величины мы предоставляем читателю найти эти формулы перехода (см. также замечание в конце параграфа), а сами ограничимся выводом лишь тех из них, которые понадобятся нам в процессе рассуждений.

Для большей наглядности мы осуществим переход к новым осям в два приема, произведя сначала перенос начала, а затем поворот осей координат.

Пусть новая система осей Оху отличается от старой Оху лишь положением начала и пусть обозначают координаты нового начала О относительно старых осей, так что для новых и старых координат одной и той же точки будем иметь:

Легко видеть, что в нашем случае Действительно, во вспомогательной задаче, соответствующей формулам (3а) § 146, но поставленной применительно к новой системе будем иметь для скачков смещений на линиях раздела:

и ясно, что решение этой задачи приводит к тому же распределению напряжений, что решение задачи при следующих скачках:

ибо постоянные, фигурирующие в правых частях предпоследних формул, можно устранить жестким перемещением некоторых из частей, составляющих брус. Таким образом, в частности, компонента напряжения будет одной и той же для этих вспомогательных задач в системах

Значит, величина

остается неизменной при переходе к новой системе.

Вычислим еще величины Принимая во внимание формулы (6) § 146 и только что сказанное насчет будем иметь:

откуда

и аналогично

Обозначая через величины, вычисленные для системы Оху так, как были вычислены величины для системы подберем так, чтобы

или на основании предыдущих формул, если принять во внимание, что

Если придать предыдущие значения, то формулы, соответствующие формулам (4) § 146, но составленные для новой системы осей, приобретают следующий, более простой вид:

для упрощения письма мы отбросили штрихи, т. е. написали вместо В соответствии с этим новую систему Оху мы будем теперь обозначать опять через

Прямую, на которой расположена новая ось мы будем называть главной осью растяжения (сжатия).

Это название оправдывается тем, что если к основаниям бруса приложены растягивающие силы величины имеющие линией действия главную ось растяжения, то решение задачи растяжения мы получим, положив:

так что растяжение не будет сопровождаться изгибом.

Предыдущая формула показывает, что жесткость при растяжении равна

Так как при неодинаковых коэффициентах Пуассона то мы видим, что различие коэффициентов Пуассона (при неизменном увеличивает жесткость при растяжении независимо от знаков разностей — факт, отмеченный нами выше лишь для случая осевой симметрии.

Можно еще упростить формулы (4) путем поворота координатных осей Оху в своей плоскости.

Если новая система Оху повернута относительно старой на угол а, то, согласно известным формулам,

Выразим величины составленные применительно к новой системе, через величины Для этого сравним вспомогательные задачи о плоской деформации, соответствующие формулам (1а), (2а) § 146, с такими же вспомогательными задачами, но поставленными применительно к новой системе.

Имеем для скачков смещений в упомянутых задачах для старой системы:

в случае первой задачи и

в случае второй задачи. Для соответствующих же задач, поставленных применительно к новой системе, будем иметь:

и

Для сравнения этих задач, выразим граничные условия (II), пользуясь старой системой координат А именно, внося в правые части формул на место х, у выражения (7), получаем:

Вводя теперь на место компонент скачков компоненты тех же скачков в старых координатах и принимая во внимание, что

получаем

Мы видим, таким образом, что решение задачи, соответствующей условиям мы получим, сложив решения задач, соответствующих условиям и предварительно умножив их соответственно на

Таким образом, если через мы обозначим компоненту напряжения, соответствующего задаче а через по-прежнему компоненты напряжений, соответствующих задачам (II), то

Аналогично получим, что для задачи

Пользуясь формулами (9) и (10), легко выразить через Например, для будем иметь:

откуда

Выражение для мы предоставляем написать читателю (см. также замечание в конце параграфа).

Найдем теперь выражение для приведенного центробежного момента инерции 112 относительно новой системы. Имеем:

откуда

мы видим полную аналогию с формулой (11) (см. также замечание в конце параграфа).

Подберем теперь угол а так, чтобы

Пользуясь формулами (11) и (12), получаем:

откуда

Придав одно из значений, удовлетворяющих этому условию (остальные значения отличаются целым кратным прямого угла), мы придем к системе осей для которой уравнения (4) принимают весьма простой вид, о котором говорилось в начале параграфа:

ибо, как легко видеть, и для новой системы кроме того, Плоскости мы будем называть главными плоскостями изгиба.

Мы видим, что если ось Oz совмещена с главной осью растяжения, а плоскости с главными плоскостями изгиба, то задачи о растяжении силами, имеющими линией действия ось и об изгибе парами, плоскости которых параллельны плоскостям могут быть решены независимо друг от друга.

Отбрасывая штрихи, мы запишем последние уравнения так:

Легко видеть, что закон Бернулли — Эйлера имеет место для изгиба парами, параллельными плоскостям и что жесткости при изгибе равны соответственно

жесткость при растяжении равна

как было уже отмечено выше.

Замечание. Мы предоставляем читателю проверить, что при переходе от одной системы осей Оху к другой Оху величины преобразуются по тем же формулам, что величины

Например, при переносе начала координат О в новое положение будем иметь:

в соответствии с этим

Из сказанного вытекает, что с точки зрения упрощения обозначений было бы целесообразно не рассматривать отдельно величины а рассматривать лишь их суммы: которые только и фигурируют в уравнениях (4) § 146. Мы не сделали этого (ср. замечание 1 к § 146) с целью явно выделить слагаемые появляющиеся лишь в случае, когда коэффициенты Пуассона различны.