ДОБАВЛЕНИЕ II. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

1. Начнем со случая двух измерений. Пусть обозначает некоторую область на плоскости Мы будем рассматривать только такие связные области, которые ограничены одним или несколькими простыми замкнутыми контурами. Такие области могут быть и бесконечными (бесконечная плоскость с отверстиями), но пока мы ограничимся рассмотрением конечных областей.

Область называется односвязной, если любой разрез, проведенный от одной какой-либо точки ее границы до другой, нарушает ее связность, т. е. разбивает ее на раздельные области.

Область называется многосвязной, если могут быть проведены такие разрезы, которые, идя от одной точки границы до другой, не разбивают область на части.

Легко видеть, что область, ограниченная одним простым замкнутым контуром, односвязна. Напротив, область, ограниченная несколькими простыми замкнутыми контурами, многосвязна. Действительно, пусть граница области состоит из контуров из которых последний охватывает все остальные (рис. 73). Если разрезать область по какой-либо линии соединяющей точку контура с точкой внешнего контура то такой разрез («купюра») не нарушает ее связности.

Если, кроме провести еще аналогичные разрезы не пересекающие друг друга, то связность все же не нарушается, но, как легко видеть, всякий новый разрез уже нарушит связность. Таким образом, разрезы числом обращают нашу область в односвязную.

Если для превращения данной области в односвязную требуется провести разрезов, то говорят, что область -связна или что ее связность равна

Мы видим, что в нашем случае связность области равна числу замкнутых контуров, ее ограничивающих. Например, область, заключенная между двумя концентрическими окружностями, — двусвязная.

Односвязная область отличается от многосвязной еще следующим свойством. Если провести внутри односвязной области любой простой замкнутый контур, то область, ограниченная этим контуром, целиком принадлежит области этот контур путем непрерывной деформации может быть сжат в одну точку, все время оставаясь в области.

В случае же многосвязной области существуют такие контуры, которые этим свойством не обладают. Например, на рис. 73 контур (пунктир) есть один из таких контуров: его нельзя сжать в одну точку, не разрывая его и не выводя из области

Рис. 73.

2. Пусть дано дифференциальное выражение

где и однозначные и непрерывные функции в некоторой области обладающие непрерывными производными первого порядка. Поставим себе вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции для того чтобы выражение (1) было полным дифференциалом некоторой однозначной функции т. е. чтобы существовала однозначная фукция удовлетворяющая условию

или, что сводится к тому же, условиям

Хотя этот вопрос излагается во всех, даже элементарных, курсах анализа, мы все же считаем нужным остановиться на нем, чтобы обратить внимание читателя на некоторые обстоятельства, весьма существенные для наших целей.

Предположим сперва, что область односвязна. Возьмем в ней какую-либо постоянную точку и соединим ее произвольной линией не выходящей из с переменной точкой Если функция удовлетворяющая условию (2), существует, то, интегрируя обе части этого равенства вдоль пути получаем:

где — постоянная.

По условию, есть однозначная функция от х, у, значит, значение ее в точке должно зависеть только от положения но не от пути интегрирования Таким образом, если функция существует, то криволинейный интеграл

не должен зависеть от пути интегрирования (расположенного, разумеется, в области Это условие можно выразить и так: интегралы

взятые по любым замкнутым контурам (целиком расположенным внутри должны равняться нулю. Действительно, соединив какие-либо две точки любого замкнутого контура соответственно с точками и (рис. 74), будем иметь по условию:

но так как интегралы по линиям и в обоих членах левой части равны между собой, то

а это и требовалось доказать.

Рис. 74.

На основании известной формулы Остроградского — Грина имеем:

где о обозначает область, ограниченную контуром Из сказанного следует, что интеграл в правой части должен равняться нулю для всякой части о области Значит, подынтегральная функция должна быть равной нулю в каждой точке области т. е. мы должны иметь:

во всей области Это есть, как мы видим, необходимое условие существования функции Оно оказывается также достаточным.

Действительно, при соблюдении этого условия криволинейный интеграл

не зависит от пути интегрирования, а только от конечной и начальной точек пути. Это непосредственно следует из предыдущего: если

А и В— две любые точки области и два любых пути, соединяющих эти точки, то

ибо (рис. 74)

а последний интеграл равен нулю в силу формулы (4) и условия (5). Мы подразумевали при этом, что пути и не пересекают друг друга, так что их соединение образует простой замкнутый контур. Но легко убедиться, что это несущественно: если пути пересекаются в одной или нескольких точках, то разность интегралов по этим путям может быть сведена к сумме интегралов по двум или большему числу замкнутых контуров.

В частности, интеграл в правой части формулы (3) при зафиксированной точке будет представлять собой однозначную функцию от х и у, и, значит, формула (3) определит однозначную функцию если придать С произвольное (постоянное) значение. Легко, далее, проверить, что мы действительно будем иметь равенства (2).

В самом деле, продолжив путь интегрирования в формуле (3) прямолинейным отрезком параллельным до точки будем, очевидно, иметь:

откуда следует

т. е. первое из равенств (2); таким же образом доказывается и второе.

Мы видим, таким образом, что условие (5) необходимо и достаточно для существования однозначной функции удовлетворяющей условию (2) или условиям (2). При соблюдении этого условия функция определяется формулой (3) с точностью до постоянной С, которая совершенно произвольна.

До сих пор мы считали область односвязной. Посмотрим теперь, какие добавления требуются в случае многосвязной области.

Условие (5) и здесь является необходимым: вывод ничем не отличается от вывода для случая односвязной области. Надо только при применении формулы (4) брать такие контуры чтобы области а, ими ограничиваемые, целиком принадлежали (в случае односвязной области это выполняется само собой). Выясним теперь вопрос о достаточности этого условия. Мы покажем, что и в нашем случае условие это обеспечивает

существование функции определяемой формулой (3), но что функция эта будет, вообще говоря, многозначной.

Начнем со следующего замечания. Разрежем область купюрами

как было указано в предыдущем пункте, и полученную таким образом односвязную область обозначим через

Мы должны представлять себе, что вдоль каждой линии соприкасаются два края разрезанной области, так что каждая точка этой линии должна считаться за две, одна из которых принадлежит одному, а другая — другому краю. В соответствии с этим на каждом разрезе мы будем различать два края, которые условно будем обозначать знаками

Так как область односвязна, то функция определенная формулой (3), где путь интегрирования не должен выходить из т. е. не должен пересекать купюр, будет на основании сказанного выше однозначна в

Это, однако, не значит, что в точках, принадлежащих различным краям одной и той же купюры, значения функции F будут одинаковы (ибо эти точки должны считаться различными точками области Возьмем, например, какую-либо точку А на купюре и обозначим через. значения функции F в точках краев (+) и (-), совмещенных в геометрической точке А. Имеем по формуле (3):

где первый интеграл взят по любой линии находящейся в и идущей из к точке А, подходя к ней со стороны (—); второй же интеграл взят по пути также выходящему из но подходящему к А со стороны (+) (рис. 73; на нем не изображены точка и упомянутые пути интегрирования). В качестве пути интегрирования для второго интеграла мы можем взять путь интегрирования первого интеграла, дополнив его линией один раз окружающей контур и ведущей от края (-) к краю (+), не выходя из разрезанной области Таким образом, будем иметь:

где определяется формулой

причем есть простой замкнутый контур, ведущий по области от края (-) к краю (+) купюры и не пересекающий других купюр (рис. 73). Этот контур пересекает купюру переходя со стороны (+) на сторону

Легко видеть, что не зависит от выбора контура лишь бы он один раз окружал контур идя по от края (-) к краю (+) купюры Действительно, пусть есть другой такой контур, пересекающий в некоторой точке В. Рассмотрим замкнутый контур, не выходящий составленный из отрезка положительного края купюры, пути пройденного в отрицательном направлении далее из отрезка отрицательного края купюры и, наконец, контура

Имеем:

где интеграл взят по только что указанному замкнутому контуру. Так как, далее, интегралы по и взаимно уничтожаются, то остается:

а это и доказывает наше утверждение [перед первым интегралом мы взяли знак (-), считая, что обозначает контур, пройденный в положительном направлении].

Совершенно аналогично получим для любой купюры что

где

любой замкнутый контур, окружающий пересекающий только одну купюру переходя со стороны (+) на сторону

Интеграл в формуле (6) может, в частности, быть взят по самой границе если функции непрерывны вплоть до границы.

Легко теперь выяснить, какую функцию определяет формула (3), если рассматривать неразрезанную область, т. е. если допустить, что путь интегрирования может пересекать купюры.

Обозначим через то значение, которое дает формула (3) в разрезанной области, т. е. когда путь интегрирования не пересекает купюр.

Рассмотрим теперь произвольный путь интегрирования (рис. 75); пусть он пересекает купюры несколько, скажем раз. Будем следовать из точки по пути интегрирования до первой встречи с одной из купюр На части пути интегрирования после перехода через эту купюру, но до следующей встречи с какой-либо из купюр, возьмем две последовательные точки я заменим участок пути линией идущей из и возвращающейся в В, не пересекая ни одной из купюр. Это, конечно, не изменит значения интеграла (ибо при замене мы оставались

в разрезанной области). Первоначальный путь от до оказывается замененным замкнутым контуром один раз охватывающим контур и путем который пересекает купюры уже не раз.

Интеграл, взятый по замкнутому контуру равен на основании формулы или — в зависимости от того, пересекает ли путь интегрирования купюру переходя от края (+) к краю (-), или наоборот. Таким образом, мы можем выбросить из (видоизмененного) пути интегрирования замкнутую часть при условии, что к окончательному результату прибавляется

Рис. 75.

Продолжая действовать таким образом, мы можем свести путь интегрирования к пути, не пересекающему ни одной купюры. К интегралу, взятому по этому пути, надо будет добавить величины каждую на них следует добавить столько раз, сколько раз первоначальный путь интегрирования пересекает соответствующую купюру; знак (+) надо брать в случае пересечения от стороны (+) к стороне (—); знак же (-) следует брать в противном случае.

Так как путь интегрирования, не пересекающий купюр, дает значение то мы будем иметь окончательный результат в следующем виде:

где целые числа (положительные или отрицательные), которые легко подсчитываются на основании сказанного выше по числу пересечений пути с купюрами (при этом следует принимать во внимание направление пересечения). Например, в случае рис. 75

Для того чтобы функция была однозначной, необходимо и достаточно, чтобы наряду с условием (5) было соблюдено условие

Все сказанное выше можно применить и к случаю, когда контур уходит целиком в бесконечность, так что область превращается в бесконечную плоскость с отверстиями.

3. В случае трех измерений имеем совершенно аналогичные результаты. И здесь следует различать односвязные и многосвязные трехмерные области (тела). Односвязной называется область, обладающая тем свойством, что всякая замкнутая линия, проведенная внутри тела, может сжаться в одну точку путем непрерывной деформации,

не выходя из области (примеры: шар и куб). В противном случае область многосвязна. Примерами многосвязных областей могут служить, например, тор (т. е. тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в его плоскостии не пересекающей его) или куб, имеющий одно или несколько сквозных отверстий, и т. п.

Тор есть тело двусвязное, ибо его можно сделать односвязным путем проведения одного разреза (перегородки); здесь уже, в противоположность случаю двух измерений, разрез будет не линией, а поверхностью.

Вообще тело будет -связным, если его можно сделать односвязным при помощи разрезов. Обратим внимание на то, что тело, ограниченное одной замкнутой поверхностью, не обязательно односвязно (пример: тор); наоборот, тело может быть ограничено несколькими замкнутыми поверхностями, но быть односвязным (пример: область, заключенная между двумя концентрическими сферами). Пусть теперь дано дифференциальное выражение

где однозначные и непрерывные функции, имеющие непрерывные первые производные в некоторой односвязной области

Совершенно аналогично сказанному в предыдущем пункте, можем показать, что для существования однозначной функции удовлетворяющей условию

необходимо и достаточно, чтобы

где любой замкнутый контур в области

При этом условии функция F определится формулой

где С — произвольная постоянная, а интеграл взят по любому пути (находящемуся в V), соединяющему постоянную точку с переменной точкой .

Преобразуем условие (3). Для этого вспомним известную формулу Стокса:

где любая (разомкнутая) поверхность (не выходящая из имеющая своей границей контур нормаль к этой поверхности а,

проведенная в определенную сторону. В силу этой формулы условие (3) примет вид

причем оно должно быть соблюдено для любой поверхности а (находящейся внутри Взяв в качестве а какую-либо площадку, нормальную к оси получим, в частности:

откуда выводим (ввиду произвольности площадки а) первую из следующих формул:

(две последние формулы выводятся круговой перестановкой).

Обратно, условия (7) являются, очевидно, достаточными для наличия условия (3) и, значит, для существования однозначной функции определяемой формулой (3).

В случае многосвязной области при наличии условий (7) функция F (х, у, z), определяемая равенством (4), может оказаться многозначной. Именно, рассуждениями, совершенно аналогичными рассуждениям предыдущего пункта (читатель легко воспроизведет их сам), можно установить следующее. Если мысленно провести разрезов (перегородок) так, чтобы обратить данную -связную область в односвязную, а через (х, у, z) обозначить функцию, определяемую формулой (4), при условии, что путь интегрирования не пересекает перегородок, то при произвольном пути интегрирования будем иметь:

где целые числа, постоянные, представляющие собой интегралы по замкнутым путям. А именно:

где простой замкнутый контур, который пересекает только перегородку с номером к, переходя от стороны (+) к стороне (-). Целые числа определяются по такому же правилу, как в предыдущем параграфе.

Для того чтобы функция F была однозначна, необходимо и достаточно, чтобы наряду с условиями (7) были соблюдены условия: