§ 11. Бесконечно малое аффинное преобразование.

Преобразование, выражаемое формулами (1) § 10, будем называть бесконечно малым, если — бесконечно малые величины, квадратами и произведениями которых можно пренебречь по сравнению с самими

этими величинами. Из упомянутых формул следует, что при этом предположении разности

между координатами одной и той же точки до и после преобразования будут бесконечно малыми величинами.

Рассмотрим результат двух последовательных бесконечно малых преобразований. Пусть совершается одно аффинное бесконечно малое преобразование

а вслед за ним над полученными координатами х, у, z - другое бесконечно малое преобразование

Эти два последовательных преобразования переводят в конечном счете точку (х, у, z) в точку (х, у, z). Зависимость между координатами этих точек получим, если внесем выражения (1) в выражения (2). Производя эту подстановку и отбрасывая произведения величин получаем без всякого труда:

где

Прежде всего эти формулы показывают, что результат двух аффинных преобразований есть также аффинное преобразование (которое мы будем называть «результирующим»). Этим свойством, как читатель легко сам проверит, обладают какие угодно аффинные преобразования (а не только бесконечно малые).

Однако два свойства, непосредственно вытекающих из формул (3) и (4), справедливы, вообще говоря, только для бесконечно малых преобразований. Это следующие свойства: а) результирующее преобразование не зависит от порядка, в котором производятся данные преобразования; б) коэффициенты суть суммы соответствующих коэффициентов данных преобразований.

Мы будем говорить, что результирующее преобразование получается путем наложения двух данных. Все сказанное непосредственно обобщается на случай наложения любого числа преобразований.