§ 152. Пластинки со многими отверстиями. Периодическая задача.

Д. И. Шерман предложил улучшенный вариант метода степенных рядов для случая бесконечной или полубесконечной области с двумя одинаковыми круговыми отверстиями (Шерман [34]).

Опыт численного решения конкретных задач показал, что бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, получаемые в результате использования степенных рядов непосредственно для комплексных потенциалов в ряде случаев весьма неудобны по своей структуре. К тому же ряды для напряжений оказываются, как правило, медленно сходящимися. Для устранения этого неудобства Д. И. Шерман вводит вместо функции новую функцию

непосредственно связанную (по крайней мере на действительной оси)

с компонентами напряжения. Рассуждениями, вполне аналогичными приведенным в § 78 при построении функционального уравнения (18), вновь введенная функция исключается из рассмотрения, получаемое на этот раз функциональное уравнение после надлежащего разложения функции в степенной ряд непосредственно приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Оказывается, что полученная таким образом система более удобна для исследования и ведет к цели гораздо быстрее.

Эти соображения были использованы Д. И. Шерманом для изучения периодической задачи плоской теории упругости, к которой мы сейчас переходим.

Представим себе упругую изотропную и однородную бесконечную среду, ослабленную бесконечным рядом одинаковых и периодически расположенных отверстий круговой формы. Центры отверстий будем считать расположенными на одной и той же прямой.

В случае полуплоскости дополнительно считается, что указанная прямая параллельна границе полуплоскости и находится от нее на расстоянии, значительно превосходящем радиус отверстий.

Способ эффективного построения решения периодической задачи в указанной постановке был еще в 1935 г. предложен в работе Хоуленда (Howland [1]). Автор рассматривает бесконечную пластинку, подверженную на бесконечности параллельным или нормальным к линии центров отверстий растягивающим усилиям. Эффективное рассмотрение основано в зтой работе на некотором алгоритме последовательных приближений, сходимость которого доказывается при малом значении отношения радиуса отверстия к расстоянию между двумя ближайшими центрами. Численные расчеты приводятся при указанном отношении — назовем его равном 0,25.

Д. И. Шерман методом, примененным им в случае двух одинаковых круговых отверстий [34], рассмотрел периодическую задачу (с круговыми же отверстиями) для весомой полуплоскости [31]. Сущность этого метода, как указывалось выше, заключается в одновременном использовании специально подобранных представлений комплексных потенциалов в форме степенных рядов и функционального уравнения, аналогичного уравнению § 78. Решение задачи, как и в рассмотренных выше непериодических случаях, было сведено к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

Этот подход позволил Д. И. Шерману проследить за распределением напряжений вблизи отверстий в значительном диапазоне изменения числа характеризующего относительные размеры области, и провести анализ поля напряжений для достаточно близких между собой отверстий.

В другой работе Д. И. Шермана [32] изучается более общий случай некруговых периодических отверстий. Ослабляющие среду отверстия имеют здесь форму криволинейного квадрата, отображение внешности которого на внешность круга дается двучленной формулой, содержащей Рассмотрение базируется на том же методе, приводящем к системе линейных уравнений.

Периодическая задача в случае криволинейных отверстий довольно общих очертаний изучалась еще раньше в работе И. И. Воровича и А. С. Космодамианского [1].

Авторы на основе присущих рассматриваемой ими задаче геометрической и силовой симметрии находят некоторые интегральные представления искомых периодических функций комплексного переменного через новые функции комплексного же аргумента, голоморфные в бесконечной плоскости с одним отверстием и исчезающие на бесконечности. Затем эти вновь введенные функции разлагаются в ряды по степеням предполагаемого малым параметра где диаметр отверстия, а расстояние между центрами ближайших отверстий.

После этого задача сводится к бесконечному ряду последовательно решаемых плоских задач для односвязной области — плоскости с одним отверстием.

Подход авторов позволяет в принципе довести решение до расчетных формул каждый раз, когда отображение внешности, отверстия на внешность круга осуществляется посредством рациональной функции. Вопрос о сходимости процесса не был рассмотрен.

Подробный анализ с численными расчетами был проведен в случае одинаковых и одинаково ориентированных эллиптических отверстий, когда пластинка растягивается на бесконечности усилиями, направленными под некоторым углом а к оси являющейся линией центров отверстий. Границы отверстий считаются незагруженными.

Так же до конца, с доведением до численных результатов, был разобран случай, когда в круговые отверстия в пластинке при тех же внешних воздействиях впаяны жесткие шайбы (вторая основная задача). Все численные расчеты проводились при

Как видно из приведенных в работе графиков для максимальных напряжений, в случае первой задачи при (растяжение пластинки усилиями, параллельными линии центров) наибольшее влияние соседних отверстий наблюдается при малых отношениях полуосей эллипса (а — полуось в направлении При этом максимальное напряжение в пластинке уменьшается по сравнению со случаем, когда среда имеет лишь одно отверстие.

При растяжении же усилиями, перпендикулярными линии центров, наибольшее возмущение вносится, наоборот, при больших отношениях причем максимальные напряжения возрастают с переходом от одного отверстия к ряду отверстий.

В случае второй задачи получается обратная картина. Здесь при концентрация напряжений вблизи отверстий увеличивается с переходом от одного отверстия к ряду отверстий, а при наоборот, уменьшается.

Случай конечного числа одинаковых круговых отверстий при специального вида внешних воздействиях на бесконечности рассматривался методом Д. И. Шермана [34] в работе А. С. Космодамианского [1].

В этом же направлении следует отметить работы группы китайских ученых, которыми были рассмотрены вопросы концентрации напряжений в плоскости с конечным числом отверстий различной формы и высказаны некоторые соображения о возможности применения указанного метода. Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в статье Чен Линси [1].

Этим же методом П. И. Перлиным и Л. Ф. Толченовой [2] была в условиях циклической симметрии рассмотрена задача для кругового кольца, ослабленного двумя рядами круговых отверстий; центры отверстий, принадлежащих какому-либо одному из рядов, расположены на одной и той же концентрической с кольцом окружности.

Для отверстий, близко расположенных друг к другу, А. С. Космодамианский [2] применил способ, позволяющий использовать в задачах такого типа метод Бубнова — Галеркина. Вместе с тем как для конечного, так и бесконечного числа одинаковых криволинейных отверстий, как это показано в других работах А. С. Космодамианского (например, [3]), представляется в ряде случаев целесообразным применить к практическому расчету схему, основанную на методе Мусхелишвили. Указанные выше приближенные способы использовались А. С. Космодамианским [4, 5] при изучении напряженного состояния пластинки, ослабленной конечным числом отверстий различных очертаний. В случае неодинаковых отверстий А. С. Космодамианский [6] использовал метод последовательных приближений.

В статье В. М. Буйвола [1] изучается напряженное состояние круговой области, ослабленной конечным числом одинаковых и равноотстоящих одно от другого круговых отверстий, центры которых расположены на одной и той же окружности, концентрической с границей. К решению задачи применяется уравнение Лауричелла — Шермана (§ 101), которое на основе присущего задаче свойства циклической симметрии преобразуется к более простому виду, удобному для численного решения. Это видоизмененное уравнение решается затем численно способом, указанным в работе А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе [1].

В выполненных в последнее время работах Койтера (Koiter [1, 2]) были поставлены в наиболее общей форме и решены представляющие значительный теоретический и прикладной интерес задачи о поле

напряжений в бесконечном упругом теле, ослабленном двоякопериодической системой конгруэнтных отверстий произвольной формы. Исследованию задачи теории упругости Койтер предпослал специальную работу математического характера (Koiter [1]), в которой изучил свойства надлежащим образом обобщенного интеграла типа Коши. Обобщение заключается в том, что вместо обычного ядра Коши вводится ядро где дзета-функция Вейерштрасса. Койтер обобщил на введенные таким образом интегралы формулы Сохоцкого — Племеля (§ 68), сформулировал и доказал соответствующую теорему о граничных значениях двоякопериодических и квазипериодических функций и для случая, когда отверстия имеют круговую форму, исследовал разложения таких функций. В работе Koiter [2] автор рассмотрел первую граничную задачу теории упругости для тела с двоякопериодической системой отверстий и привел ее, используя комплексное представление, указанное в гл. II настоящей книги, к задаче определения двоякопериодических аналитических функций вида, рассмотренного в его работе Koiter [1]. Далее, он доказал единственность решения поставленной таким образом задачи теории упругости и получил функциональное уравнение для функции которое привел к уравнению Фредгольма второго рода. Это уравнение представляет собой соответствующее обобщение на случай бесконечносвязной области уравнения (9) § 98, соответствующего случаю односвязной области.

Используя полученное интегральное уравнение Фредгольма и опираясь на известные свойства этих уравнений, Койтер показал в работе Koiter [2] существование решения поставленной задачи теории упругости, а также наметил исследование предельных случаев.

Следует отметить, что плоские задачи теории упругости для бесконечного тела с двоякопериодической системой круговых отверстий были впервые рассмотрены В. Я. Натанзоном [1] и позднее Сайто (Saito [1]), которые путем разложения в ряды обоих комплексных потенциалов получили для коэффициентов упомянутых разложений двоякобесконечную систему уравнений. Преимуществом указанных выше рассмотрений Койтера является их более общий характер (отверстия могут иметь произвольную форму), а также, по-видимому, более эффективный подход к теоретическому исследованию. Следует отметить также работы Хорвея (Horway [1, 2]), в которых задача теории упругости (с учетом температурных членов) для тел с двоякопериодической системой отверстий рассматривалась при помощи некоторого приближенного метода.

Многие из упоминающихся выше задач, в частности задача о равновесии тяжелой полуплоскости при наличии ослабляющих ее отверстий, тесно связаны с важным вопросом о напряженном состоянии массива горных пород с выработками тех или иных размеров и очертаний. Подобные задачи делаются особенно трудными в случае более чем одного отверстия,

когда в качестве основного фактора, определяющего напряженное состояние среды, выступает взаимное влияние близлежащих отверстий.

В случае двух круговых и эллиптических, а затем и бесконечного числа таких же периодически расположенных отверстий характер и степень этого взаимного влияния были подробно исследованы Д. И. Шерманом и его учениками. Детальное изучение этого круга вопросов позволило впоследствии высказать некоторые суждения по поводу явления горного удара (Д. И. Шерман [30]).