§ 48. Простейшие примеры конформного отображения.

1. Дробно-линейная подстановка. Рассмотрим случай, когда z дробно-линейная функция от

где постоянные (вообще комплексные), причем В этом случае говорят, что z получается из дробно-линейной подстановкой (или преобразованием). Решая соотношение (1) относительно получаем обратную подстановку, также дробно-линейную:

Значит, каждой точке плоскости соответствует вполне определенная точка плоскости z, и обратно. Мы не исключаем и бесконечно удаленных точек. Именно, точке соответствует точка а точке точка

Таким образом, мы имеем взаимно однозначное соответствие неограниченных плоскостей

Дробно-линейная подстановка обладает тем замечательным свойством, что она сохраняет круги, т. е. любой окружности плоскости она приводит в соответствие также окружность плоскости z, и обратно. При этом прямые рассматриваются как частные случаи окружностей. Проще всего это доказать следующим образом. Уравнение любой окружности на плоскости z, как известно, имеет следующий вид:

где действительные постоянные (при имеем прямую).

Замечая, что можно это уравнение написать и так:

где действительные, а — сопряженные комплексные постоянные. Легко убедиться, что, обратно, уравнение предыдущего вида всегда приводится к виду если вернуться к действительным переменным х и у. Чтобы теперь получить уравнение линии, соответствующей на плоскости нашей окружности, достаточно внести в (б) выражение (1). После устранения знаменателя и элементарных приведений получаем уравнение

где действительные, а - сопряженные комплексные постоянные. Следовательно, мы опять получаем уравнение окружности, а это и требовалось доказать.

Одним из простейших частных случаев преобразования (1) является преобразование

где действительная постоянная; мы будем считать Для того чтобы дать наглядное представление об этом преобразовании, напомним понятие отражения точки в окружности. Пусть окружность радиуса на плоскости с центром в начале пусть некоторая точка на этой плоскости. Построим другую точку z, связанную с z следующим образом:

Если то, очевидно, где расстояния точек до 0, связанные соотношением

Таким образом, точки расположены на одном и том же луче, выходящем из О, и их расстояния до О связаны соотношением (3).

Рис. 20.

Точка z, связанная с точкой z указанным образом, и называется отражением точки z в окружности Ясно, что в свою очередь z является отражением z в том же смысле. Преобразование (3), связывающее называется также инверсией. Точки называются также сопряженными относительно окружности Когда дана одна из них, то другую легко построить при помощи циркуля и линейки: если, например, данная точка z расположена вне то для построения соответствующей точки z достаточно провести касательную из к и из точки касания опустить перпендикуляр на луч Oz (рис. 20).

При инверсии, очевидно, точки окружности соответствуют самим себе, точке соответствует точка внешние по отношению к точки переходят во внутренние, и наоборот.

Вернемся теперь к преобразованию (2). Представим себе для большей наглядности, что плоскость наложена на плоскость z так, что начала и направления осей координат совпадают. Тогда, очевидно, точка соответствующая точке будет определяться формулой

Следовательно, точку можно построить так: отразить точку z в окружности и полученное отражение z отразить (зеркально) в действительной оси; это последнее отражение и будет точкой (рис. 20).

Рассмотрим более подробно еще дробно-линейную подстановку вида

где а — действительная положительная постоянная.

Точкам плоскости соответствуют точки плоскости точке соответствует точка

Значит, прямым, проходящим через точку на плоскости будут соответствовать на плоскости z окружности, проходящие через точки

(рис. 21а, 216). Далее, концентрическим окружностям с центром в точке на плоскости будут соответствовать окружности на плоскости z, пересекающие ортогонально окружности, проходящие через (в силу конформности отображения);

Рис. 21а.

центры этих окружностей лежат, очевидно, на оси

Возьмем на плоскости окружность у радиуса с центром в точке Точкам

соответствуют на плоскости z точки оси

Значит, абсцисса с центра окружности соответствующей окружности у, и радиус ее определятся формулами:

мы будем считать, что если точка расположена левее точки

Если то Когда приближается к то и с беспредельно возрастают и окружность обращается в прямую, перпендикулярную к проходящую через точку К с абсциссой —

Если то соответствующая окружность на плоскости z находится уже по другую сторону упомянутой прямой

Рассмотрим теперь две окружности на плоскости z, соответствующие окружностям с радиусами плоскости и будем считать, что

Рис. 216.

Тогда, очевидно, соотношение (4) дает конформное отображение области, заключенной между эксцентрическими окружностями и на кольцо, заключенное между

Если даны элементы, определяющие первую область, т. е. радиусы

окружностей и расстояние I между их центрами то легко найти величину а, фигурирующую в формуле (4), и радиусы окружностей Именно, для определения этих величин имеем

уравнения

откуда после элементарных выкладок получаем:

Таким же образом легко найти отображение бесконечной области, состоящей из точек, расположенных вне двух данных окружностей (рис. 21а), на кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с радиусами В этом случае Улитка Паскаля. Положим:

Полагая получаем:

откуда

Когда точка описывает окружность у радиуса то точка описывает на плоскости z кривую параметрически представляемую равенствами

Эта кривая называется улиткой Паскаля. Если, как мы предполагаем,

то кривая эта не пересекает саму себя и при изменении от до точка z описывает ее в одном и том же направлении. Значит, на основании сказанного в конце предыдущего параграфа соотношение (9) дает конформное отображение области, заключенной внутри улитки Паскаля, на круг радиуса 1.

При улитка Паскаля обращается в окружность, при в кардиоиду. В этом последнем случае кривая имеет точку

возврата при z, соответствующем значению для этого значения

Окружностям радиусов на плоскости соответствуют также улитки Паскаля, параметрическое представление которых получим, полагая

в уравнениях (10). Радиусам окружности у соответствуют на плоскости z кривые, параметрическое представление которых получим, полагая в формулах. (10)

(параметром будет кривые эти, как легко убедиться, — параболы.

Рис. 22а.

Рис. 226.

На рис. 22а изображены кривые, соответствующие окружностям и лучам изображенным на рис. 226. Эти кривые пересекаются под прямыми углами, в силу конформности отображения.

3. Эпитрохоида. Положим:

где целое число, большее единицы. Если, как раньше, положить то

Окружности плоскости соответствует на плоскости z кривая имеющая следующее параметрическое представление:

Эта кривая есть эпитрохоида. Действительно, если круг радиуса катится без скольжения (на плоскости по кругу радиуса касаясь

его извне, то точка связанная с подвижным кругом и находящаяся на расстоянии I от его центра, описывает кривую

где обозначает полярный угол точки взаимного касания кругов, а Если положить:

то кривая (14) совпадает с кривой (14). Так как, по условию, то При точка находится внутри катящегося круга, и поэтому кривая не пересекает саму себя. В предельном случае точка находится на окружности катящегося круга, и наша кривая обращается в эпициклоиду, имеющую точек возврата. На рис. 23 изображен случай

На основании теоремы, указанной в § 47, легко заключить, что соотношение (12) отображает область заключенную внутри кривой на область

Окружностям плоскости соответствуют на плоскости z также эпитрохоиды, параметрическое представление которых мы получим, полагая в формулах (13).

При кривая обращается в улитку Паскаля, рассмотренную в предыдущем пункте.

Рис. 23.

4. Гипотрохоида. Положим:

где целое положительное число.

В этом случае контур соответствующий окружности есть, как легко видеть, гипотрохоида, не пересекающая саму себя, описываемая точкой круга радиуса катящегося без скольжения по кругу радиуса и касающегося его изнутри, причем если I обозначает расстояние точки до центра катящегося круга, то

Легко видеть, что соотношение (15) отображает часть плоскости z, находящуюся вне на область плоскости Окружностям плоскости соответствуют на плоскости z также гипотрохоиды. В случае контур обращается в эллипс; этот случай будет рассмотрен в следующем пункте. При контур обращается в гипоциклоиду, имеющую в точек возврата.

При или контур имеет соответственно три или четыре точки возврата и приближается по форме к треугольнику или квадрату. Окружностям радиусов плоскости соответствуют на плоскости z гипотрохоиды, также приближающиеся, если близко к единице, по форме к треугольнику или квадрату с закругленными углами. На рис. 24 и 25 изображены соответственно случаи

Рис. 24.

Рис. 25.

Если в формуле (15) заменить на 1 то мы получим отображение рассматриваемой области на круг С 1; в этом случае

5. Эллиптическое кольцо. Положим:

или при тех же обозначениях, что выше,

Окружности радиуса соответствует на плоскости z эллипс, параметрическое представление которого есть

Если то полуоси эллипса будут:

и точка описывает его против часовой стрелки, если точка движется по окружности также против часовой стрелки.

Значит, если мы на плоскости возьмем две окружности радиусов причем на основании сказанного в конце § 47 получим отображение области, заключенной между эллипсами и соответствующими этим окружностям, на круговое кольцо, заключенное между Наши эллипсы будут конфокальны, так как расстояние с от фокусов эллипса до начала координат дается формулой не зависит от

Окружностям, соответствующим различным значениям будут соответствовать эллипсы, заключенные между и конфокальные с ними. Лучам плоскости будут соответствовать конфокальные гиперболы, имеющие те же фокусы, что и эллипсы. Эти эллипсы и гиперболы пересекаются, конечно, под прямыми углами (рис. 26).

Рис. 26.

Мы можем увеличить до бесконечности. Тогда мы получим отображение бесконечной области, состоящей из точек, расположенных вне эллипса на бесконечную область, состоящую из точек, находящихся вне этом случае мы всегда будем брать для простоты следовательно, При эллипс обращается в прямолинейную щель. При мы получим окружность. Если в формуле (16) заменим на т. е. положим:

то получим отображение плоскости с эллиптическим отверстием на круг

6. Как было только что сказано, соотношение

отображает на круг бесконечную плоскость с эллиптическим отверстием. Уравнение границы отверстия будет

Как было сказано, при эллипс обращается в прямолинейную щель. Произвздя подстановку

что приводит к соотношению

получим отображение на круг конечной области, ограниченной так называемой лемнискатой Бута (Booth).

Рис. 27.

Когда мало отличается от единицы, то область эта мало отличается от фигуры, состоящей из двух касающихся друг друга кругов. На рис. 27 изображена кривая, соответствующая

Если же вместо подстановки (21) произвести подстановку

где точка с расположена вне эллипса (20), то, как легко видеть, получим отображение на круг некоторой области, которая при обращается в бесконечную плоскость, разрезанную вдоль дуги окружности