§ 79. Приведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы существования.

1. Функциональные уравнения (10) и (16) § 78 принадлежат к не совсем обычному типу интегральных уравнений, но их легко можно привести к обычным уравнениям Фредгольма (второго рода).

В случае бесконечной области мы будем считать, что

так как наши задачи всегда могут быть приведены к этому случаю, (см. § 78).

2. Займемся сначала первой основной задачей. Чтобы привести уравнение (10) § 78 к уравнению Фредгольма, перепишем его следующим образом:

где для краткости введено обозначение

Легко видеть на основании формулы (18) § 76, что левая часть уравнения (1) тождественна с левой частью формулы (10) § 78. В случае бесконечной области со и поэтому

Дифференцируя уравнение (1) по получаем:

откуда, заставляя стремиться к произвольной точке контура, выводим:

Легко видеть, что проделанная нами операция перехода к пределу вполне законна вследствие принятых выше условий относительно функции и контура Именно, мы приняли, что такова, что ее первая производная удовлетворяет условию Поэтому будет (§ 69) функцией, непрерывной внутри у, непрерывно продолжимой на у; в формуле (4) обозначает граничное значение этой функции.

Далее, условия, принятые относительно контура обеспечивают непрерывность вплоть до контура у функций со за исключением, в случае бесконечной области, точки и неравенство

нулю со а отсюда следует непрерывность функции

для всех значений внутри и на кроме, в случае бесконечной области, значений

Кроме того, по предположению (см. § 78) функции непрерывны вплоть до контура.

Уравнение (4) легко может быть также выведено из уравнений полученных иным путем В. А. Фоком [1, 2], который, впрочем, ограничивается рассмотрением конечной области.

Предыдущие формулы относятся как к случаю конечной, так и к случаю бесконечной области. Однако в случае бесконечной области им можно придать несколько иной вид, более удобный для нашей цели.

Прежде всего в этом случае Значит, вместо уравнения (1) можем написать:

Далее, замечая, что согласно нашим условиям

где функция, голоморфная внутри будем иметь:

Подставляя это выражение в уравнение (1), получаем:

ибо, как легко видеть,

В самом деле, величина, сопряженная с интегралом правой части,

равна нулю, ибо очевидно, есть граничное значение функции, голоморфной внутри у.

Из уравнения дифференцированием выводим:

и, переходя к пределу совершенно аналогично предыдущему получаем интегральное уравнение

Итак, уравнение (4), которое мы теперь перепишем так:

пригодное в обоих случаях, может быть в случае бесконечной области заменено уравнением (4), т. е.

где введено обозначение

Исследуем теперь полученные интегральные уравнения отдельно для конечной и бесконечной области.

Начнем со случая бесконечной области. Если в уравнении (6) положим

и

и разделим действительные и мнимые части, то получим систему двух действительных уравнений Фредгольма; обычным путем эта система может быть сведена к одному уравнению. Нам бесполезно выписывать его, достаточно только знать, что уравнение (6) сводится к одному уравнению Фредгольма (второго рода).

Предположим, что уравнение (6) имеет (непрерывное) решение Если подставить это решение во второе слагаемое левой части формулы то эта формула определит некоторую функцию голоморфную, как легко видеть, внутри у и принимающую определенное граничное значение на у. Легко далее видеть, что это граничное значение совпадает

с функцией фигурирующей во втором члене левой части формулы иными словами, что определенная указанным образом голоморфная функция действительно решает функциональное уравнение

Легко видеть, наконец, что мы получим решение функционального уравнения если определим эту функцию самим равенством подразумевая, что на место функции фигурирующей во втором слагаемом левой части, подставлено рассматриваемое решение интегрального уравнения (6).

После того, как функция найдена, функция определяется формулой (8) § 78:

Так как найденные функции а также производная непрерывны вплоть до у 2), то дают регулярное решение задачи.

Итак, каждому (непрерывному) решению интегрального уравнения (6) соответствует определенное регулярное решение нашей задачи.

Докажем теперь, что интегральное уравнение (6) всегда имеет решение, притом единственное. Для этого, как известно, достаточно доказать, что соответствующее однородное уравнение

не имеет решения, отличного от нуля. Это последнее почти очевидно на основании предыдущего. Действительно, если бы это уравнение имело решение, отличное от нуля, мы смогли бы при помощи этого решения получить решение нашей основной задачи, соответствующее случаю при этом такое, что отлично от нуля. А это значило бы, как легко видеть, что существует решение, соответствующее случаю, когда внешние напряжения, приложенные к контуру, равны нулю, а напряжения внутри тела отличны от нуля, что невозможно на основании теоремы единственности решения (см. § 40, п. 3 и § см. так же § 41, п. 3).

Таким образом, существование решения первой основной задачи для бесконечной области доказано.

Переходя к случаю конечной области, будем пока считать, что постоянная к в уравнении (1) произвольно зафиксирована.

Для того чтобы избавиться от члена в этом уравнении, произведем подстановку:

где новая искомая голоморфная функция. Подставляя это выражение в уравнение (1), получаем, очевидно:

откуда, как и выше, следует:

и при

Так же, как и в случае уравнения (6), мы можем свести предыдущее уравнение к системе двух интегральных уравнений Фредгольма, а эту последнюю — к одному уравнению Фредгольма (второго рода).

Ниже будет показано, что уравнение (11) всегда имеет (единственное) решение.

Теперь же мы займемся вопросом о том, как построить решение исходной задачи, если найдено какое-либо (непрерывное) решение этого уравнения.

Подставив это решение во второй член левой части (9), мы определим функцию

После этого функция будет дана соотношением (8); эта функция будет решением функционального уравнения (1) при данном значении постоянной k. Однако, для того чтобы определенная таким образом функция приводила к решению исходной задачи, необходимо и достаточно так подобрать постоянную к, чтобы имело место соотношение (2), т. е. чтобы

или, принимая во внимание соотношение (8),

Это, очевидно, возможно лишь в случае, когда

Предположим, что последнее имеет место. Тогда формула (12) определит действительную часть k. Зафиксировав произвольно мнимую часть k. мы получим определенное значение для искомой функции вычислив соответствующую функцию по формуле (8) § 78, мы получим, наконец, некоторое регулярное решение исходной задачи.

Легко выяснить физический смысл условия (13). В самом деле, введем в рассмотрение некоторую функцию положив:

или, что все равно,

Легко непосредственно проверить, что в силу уравнения (9) функция представляет собой граничное значение некоторой функции голоморфной внутри у (и обращающейся в нуль при последнее обстоятельство не имеет для нас значения).

Умножая равенства (14), (15) соответственно на со складывая, интегрируя по у и замечая, что

и что, как это показывает интегрирование по частям,

получаем:

Но

где площадь области Следовательно,

Выражение в фигурных скобках только множителем отличается от мнимой части Значит, условие (13) эквивалентно условию:

а это есть условие равенства нулю главного момента внешних напряжений, приложенных к контуру

Вернемся теперь к уравнению (11) и покажем, что оно имеет одно и только одно решение.

Рассмотрим для этого соответствующее однородное уравнение:

К этому уравнению мы придем, если станем решать указанным выше путем первую основную задачу при отсутствии внешних напряжений, т. е. при на Так как при этом условие (17), очевидно, будет соблюдено, то для любого решения уравнения (11) будет соблюдено условие (13). Подобрав действительную часть постоянной к согласно формуле (12) и произвольно зафиксировав ее мнимую часть, мы сможем, исходя из построить указанным выше путем решение первой основной задачи при Если функция не равна нулю всюду на у, то построенное таким образом решение не будет соответствовать отсутствию напряжений. В самом деле, функция в нашем случае определяется формулой: а при отсутствии напряжений мы должны иметь где С — действительная постоянная. Следовательно, при отсутствии напряжений должно быть: где некоторая постоянная. Подставляя это значение в уравнение (9), где в нашем случае получаем, очевидно: ты что возможно лишь в случае т. е. а следовательно,

Следовательно, наличие ненулевого решения уравнения (11) влечет за собой наличие решения первой основной задачи, отвечающего напряженному состоянию при отсутствии внешних усилий, что невозможно по теореме единственности.

Таким образом, однородное уравнение, соответствующее уравнению (11), не имеет отличных от нуля решений, а потому уравнение (11) имеет одно и только одно решение.

Решив это уравнение и предполагая, что условие (17) выполнено, мы сможем, подобрав действительную часть к согласно условию (12), найти функцию по формуле (8), а затем определить и функцию по формуле (8) предыдущего параграфа и таким образом решить исходную задачу. Мнимая часть к остается произвольной, что можно было предвидеть заранее, так как в выражении для слагаемое вида где С — действительная постоянная, не влияет на распределение напряжений.

Напомним, что условие (17) есть условие равенства нулю главного момента внешних напряжений. Условие равенства нулю главного вектора обеспечивается непрерывностью функций на поэтому оно не появляется в явном виде.

Таким образом, мы доказали существование решения первой основной задачи и для конечной области.

Вместе с тем дан и (теоретический) метод решения задачи как для конечной, так и для бесконечной области.

3. Перейдем ко второй основной задаче. Она сводится, как мы видели, к решению уравнения (16) § 78, совершенно аналогичного уравнению, получаемому для первой основной задачи. Методы решения первой и второй задач настолько схожи, что не имеет смысла повторять рассуждения.

Некоторое различие появляется только в случае задачи для конечной области, а именно: вместо формулы (8) мы здесь должны взять

а для определения к будем иметь уравнение

которое дает для к вполне определенное значение (вспомним, что без какого-либо добавочного условия существования решения.

Итак, существование решения второй основной задачи доказано и вместе с тем дан (теоретический) метод решения ее.

4. Методом, аналогичным предыдущему, может быть решена и основная смешанная задача. На этот раз указанный метод непосредственно приводит не к уравнению Фредгольма, а к так называемому сингулярному интегральному уравнению, которое легко в свою очередь привести к интегральному уравнению Фредгольма. Этим путем смешанная задача решена Д. И. Шерманом [10]. Решение может быть значительно упрощено, если воспользоваться разработанной впоследствии общей теорией сингулярных уравнений.

5. Д. И. Шерману [7] принадлежит также более углубленное исследование полученных выше интегральных уравнений для первой и второй основных задач. А именно, он вводит в эти интегральные уравнения некоторый параметр X, как это делается в общей теории уравнений Фредгольма, и доказывает, что все характеристические значения этого параметра действительны и расположены вне отрезка —

Этот факт имеет практическое значение, так как показывает, что упомянутые интегральные уравнения могут быть решены методом последовательных приближений, иными словами, что ряды Неймана будут

сходящимися для тех значений параметрах, которым эти уравнения соответствуют, а именно: интегральное уравнение для первой основной задачи соответствует значению , а для второй основной задачи — значению (вспомним, что ).

Кроме того, в упомянутой статье попутно получен ряд других результатов, представляющих самостоятельный интерес.

Относительно теорем существования для областей более общего вида, а также относительно некоторых других общих методов решения основных задач, будет сказано в последнем отделе этой главы.