§ 44. Зависимость напряженного состояния от упругих постоянных.

Отметим теперь одно важное свойство решения первой основной задачи.

Рассмотрим сперва случай конечной односвязной области. В этом случае искомые функции голоморфны в области Так как, далее, граничное условие (2) § 41 не зависит от упругих постоянных то функции дающие решение первой основной задачи, будут давать решение этой задачи (при тех же заданных внешних напряжениях) для тела той же формы, но сделанного из любого другого (однородного и изотропного) материала.

Итак, при заданных внешних напряжениях напряженное состояние односвязного (конечного) тела зависит только от его формы, но не от материала. Деформация и смещения, конечно, будут зависеть от материала, так как постоянные входят в формулу, выражающую смещения через функции

Рассмотрим теперь случай многосвязного тела. И в этом случае постоянные не фигурируют в граничных условиях. Но зато эти постоянные (через посредство фигурируют в формулах (10), (11) § 35:

Предположим, что мы решили первую основную задачу для тела из данного материала, т. е. нашли соответствующие функции Посмотрим, могут ли эти самые функции дать решение той же задачи при тех же заданных контурных напряжениях для тела той же формы, но из другого материала, для которого постоянные имеют другие значения Соответствующее значение х мы обозначим через х.

Функции и будут, конечно, и для второго тела удовлетворять данным граничным условиям, ибо упругие постоянные в этих условиях не фигурируют. Однако смещения, соответствующие этим функциям, могут оказаться многозначными. Именно, для однозначности смещений по формуле (7) § 35, в которой вместо х надо теперь написать х и вместо

написать соответственно:

должно быть:

или

Это может быть при только тогда, когда

Значит, одни и те же функции будут давать решение для тел из различных материалов (с различными постоянными тогда и только тогда, когда главные векторы внешних усилий, приложенных к каждому из контуров в отдельности равны нулю. В этом и только в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных. В противном случае оно зависит, от значения постоянной х или, что все равно, от отношения

Этот результат принадлежит Мичеллу (Michell [1]). Он представляет большой интерес для экспериментов над моделями, сделанными из того или иного материала, удобного с точки зрения экспериментирования. Мы видим, при каких условиях выбор материала не влияет на результат.

Более подробные указания практического характера насчет влияния выбора материала моделей многосвязных тел читатель найдет в статье Файлона (Filon [3]), а также в книге Кокера и Файлона (Coker a. Filon [1]). Считаем необходимым отметить, что вывод всех результатов Файлона может быть значительно упрощен, если исходить из приведенных выше формул.