§ 59а. Примеры и обобщения.

1. Труба, подверженная равномерному внешнему и внутреннему давлениям. Пусть внутренняя и внешняя окружности подвергаются равномерно распределенным нормальным давлениям и так что . В этом случае имеем:

Все остальные коэффициенты равны нулю. Условие существования решения, очевидно, соблюдено. Из формул (7) и (5) § 59 следует

Для всех остальных коэффициентов получим значения, равные нулю. Таким образом,

Для полярных компонент напряжения легко получим:

Задача эта решена еще Ламе.

2. Распределение напряжений при вращении кольца вокруг центра. Пусть наше кольцо вращается в своей плоскости вокруг центра О с постоянной угловой скоростью со и пусть на него не действуют никакие внешние силы. Пусть система осей Оху вращается вместе с телом и неподвижна относительно него. Тогда задача сводится к статической при условии приложения центробежных сил.

Одно из частных решений уравнений равновесия дается формулами § 28. Напряжения, выражаемые формулами (6) § 28, имеют, как легко вычислить, следующие компоненты в полярных координатах:

Если мы хотим приложить наше решение к тонкой пластинке (§ 26), надо взять вместо X величину А., и тогда получим:

Напряжения (4) не удовлетворяют граничным условиям на краях пластинки. А именно, на краях но принимает постоянные значения, которые мы обозначим соответственно через

Решение нашей задачи получится наложением напряжений (4) и напряжений (3) при

Таким образом, задача решена.

В случае тонкой пластинки следует взять X вместо Полученное таким образом решение дает только средние значения напряжений по толщине. Для не очень тонких пластинок этого недостаточно. Существуют и более полные решения (см. по этому поводу, например, Love [1], § 102). Как частный случай получаем случай сплошного вращающегося диска.

3. Некоторые обобщения. С точки зрения технических приложений представляет значительный интерес решение более общих задач, когда рассматриваемое тело состоит из нескольких концентрических колец с различными упругими постоянными, которые или спаяны между собой, или соприкасаются вдоль разграничивающих их окружностей, причем внешняя окружность может быть удалена в бесконечность, а внутреннее кольцо может сводиться к сплошному диску.

Такие задачи решаются при помощи разложений в ряды, подобно тому, как это сделано в предыдущем параграфе.

Задача для случая, когда тело состоит из двух концентрических колец, спаянных между собою, решена С. Г. Михлиным [8]. Более общие задачи указанного выше типа рассмотрены в ряде работ Г. Н. Савина, Д. В. Вайнберга и других авторов. Изложение большей части этих работ и соответствующие литературные указания даны в монографиях Г. Н. Савина (8] и Д. В. Вайнберга [1], что дает нам возможность не останавливаться здесь на этом более подробно.