§ 51. Граничные условия в преобразованной области.

Рассмотрим сперва случай, когда область (конечная или бесконечная) ограничена одним простым замкнутым контуром Отобразим эту область на круг радиуса 1 или на бесконечную область, находящуюся вне этого круга (принципиально безразлично, каким отображением пользоваться, но вообще в практических вопросах удобнее брать первое отображение в случае конечной области а второе — в случае бесконечной).

Граничные условия первой основной задачи (заданы внешние напряжения, действующие на границу) могут быть выражены двояко. Во-первых, можно исходить из условия в виде (2) § 41, которое в новых

обозначениях запишется так:

Введя сюда переменную соотношением и обозначая через произвольную точку на окружности соответствующей контуру придадим этому условию вид [см. формулу (4) предыдущего параграфа]:

Выражение в правой части этой формулы следует, разумеется, рассматривать теперь как заданную функцию точки окружности у или, что сводится к тому же, как функцию дуги этой окружности. Функция определяется на у следующим образом.

Согласно формуле (3) § 41 выражение

является заданной функцией точки контура Но так как между точками контуров имеется однозначно обратимое соответствие то является определенной функцией точки а; эту функцию, таким образом, мы можем считать заданной.

Граничное условие первой основной задачи можно выразить и при помощи функций если исходить из формулы (11) § 50, которая дает (при

причем и следует считать заданными функциями точки а или, что все равно, дуги контура

Граничное условие второй основной задачи напишется на основании формулы (5) § 50 так:

где представляют собой граничные значения компонент смещения (относительно старых осей координат представляющие собой заданные функции точки о или дуги окружности

Совершенно аналогично можно поступить в случае двусвязной области, ограниченной двумя простыми замкнутыми контурами отобразив ее на круговое кольцо (ср. сказанное в § 41).