§ 95. Решение основных задач для областей, отображаемых на полуплоскость при помощи рациональных функций. Случай параболического контура.

В случае, когда данная область отображается на полуплоскость при помощи рациональной функции со основные граничные задачи могут быть решены элементарным путем, как в аналогичном случае § 84 и след.

Ввиду аналогии этих случаев мы ограничимся тем, что разъясним способ решения на одном примере, а именно в случае, когда контур парабола, а область часть плоскости, находящаяся вне параболы (т. е. не со стороны фокуса). Рассмотрим отображение

т. е.

Действительной оси плоскости соответствует на плоскости Оху линия, представляемая параметрически уравнениями:

т. е. линия

это есть парабола параметр которой равен ось направлена по Оу, а вершина расположена в точке начало координат есть фокус параболы.

Когда пробегает ось слева направо, то соответствующая точка z пробегает параболу также слева направо.

Легко проверить, что соотношение (1) дает отображение области внешней по отношению к параболе, на полуплоскость Координатные линии суть, как легко видеть, параболы, имеющие общий фокус в начале координат; оси парабол обращены в противоположные стороны. На рис. 46а (стр. 346) изображены некоторые параболы семейства (т. е. ) и части парабол заключенные в

Легко видеть, что угол, под которым видна парабола из внутренних точек, равен так что в формулах § 91 следует теперь взять

Решение основных задач для не представляет никаких затруднений. Решим, например, первую основную задачу (вторая решается совершенно аналогично).

Будем обозначать через о точки действительной оси на плоскости Тогда на основании формулы (10) § 92 граничное условие напишется так:

где граничные значения нормального и касательного напряжений которые следует считать заданными.

Умножая обе части формулы (4) на мы перепишем это условие так:

где положено:

Условие (5) можно переписать еще так, если перейти к сопряженным значениям:

Искомые голоморфные в нижней полуплоскости функции на основании формул (1) § 90 и формулы (1) настоящего параграфа удовлетворяют при больших условиям:

Выражая, что функция определяемая условием (5), есть граничное значение функции голоморфной в нижней

полуплоскости и исчезающей на бесконечности, получаем, применяя формулу (21) § 76:

где точка нижней полуплоскости. Замечая, что граничное значение функции голоморфной в нижней полуплоскости и исчезающей на бесконечности, а и граничные значения функций голоморфных в верхней полуплоскости и исчезающих на бесконечности, получаем, применяя формулы § 72:

откуда

После этого функция легко определится по своему граничному значению, которое дается формулой (5). После простых приведений получим:

Легко видеть, что найденное решение удовлетворяет поставленным условиям, если заданная функция F и ее первая производная F по удовлетворяют условию а в окрестности бесконечно удаленной точки этому условию удовлетворяют выражения и

Таким образом, задача решена.