§ 133. О решении задачи кручения для различных частных случаев.

Мы видели, что задача кручения может быть сведена либо к задаче Неймана (относительно функции либо к задаче Дирихле (относительно функции в случае многосвязной области требуется еще определить постоянные из условия однозначности см. предыдущий параграф).

Поэтому для ее решения можно применять все известные методы решения задач Неймана и Дирихле, в настоящее время хорошо разработанные.

Кроме того, ввиду особой простоты граничных значений величин или можно рассчитывать на успешное применение более частных методов, специально приспособленных к интересующему нас случаю.

Сам Сен-Венан решил и подробно исследовал (составляя таблицы и графики) задачу кручения для большего числа сечений различного вида, представляющих интерес для техники. Для многих сечений (эллипс, равносторонний треугольник и др.) он получил решение при помощи чрезвычайно простых средств. Для случая прямоугольного сечения он дал решение при помощи хорошо сходящихся рядов.

Мы отсылаем читателя к мемуару Сен-Венана (Saint-Venant [1]), к курсам теории упругости и к посвященной специально кручению небольшой книге А. Н. Динника [1], где можно найти решения для значительного числа различных сечений; см. также книгу Тодхёнтера и Пирсона (Todhunter a. Pearson [1]). Недавно вышла обширная монография Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [1], в которой вопросы кручения изложены с большой полнотой.

Приведем здесь (почти очевидное заранее) решение для случая, когда сечение есть круг или круговое кольцо. Если взять начало координат

в центре, то, очевидно, на границе. Поэтому на всей границе должно быть

Значит, и мы можем взять Смещения и напряжения будут даны формулами:

(остальные компоненты напряжения равны нулю).

Как мы видим, поперечные сечения в нашем частном случае остаются плоскими, чего нет в других случаях.

Жесткость при кручении согласно формуле (9) § 131 будет равна

где I — полярный момент инерции сечения относительно центра. В случае кругового сечения радиуса как известно,

а в случае кругового кольца

где радиусы внутренней и внешней окружностей.