§ 39. Полярные координаты.

Во многих случаях удобно представлять напряжения и смещения в полярных координатах.

Примем начало О системы Оху за полюс, а за полярную ось. Тогда, если гид суть полярные координаты какой-либо точки на плоскости, будем иметь при обычном правиле отсчета углов:

Проведем через точку две оси: одну являющуюся продолжением радиуса-вектора (в сторону возрастания ), а другую перпендикулярно к первой (в сторону возрастания (рис. 17).

Пусть и обозначают проекции смещения в точке на оси и Эти величины называются компонентами смещения в полярных координатах. На основании известных формул аналитической геометрии

где суть компоненты того же смещения в декартовых координатах будем, очевидно, иметь:

откуда на основании формулы (1) § 32 следует

Эта формула даст выражения для и в полярных координатах, если в правую часть внести на место z выражение и отделить действительную и мнимую части.

Компонентами напряжения в полярных координатах называются компоненты, которые определяются совершенно так, как компоненты в декартовых координатах, с той разницей, что роль осей играют оси и проходящие через точку в которой рассматриваются напряжения.

Если временно обозначить ось через а ось через то упомянутые компоненты будут:

Для них мы примем обозначения, распространенные в литературе:

Таким образом, обозначает проекцию на ось напряжения, действующего на площадку, нормальную к обозначает проекцию на ось напряжения, действующего на площадку, нормальную к

Наконец, есть проекция на ось напряжения, действующего на площадку, нормальную к или же проекция на ось напряжения, действующего на площадку, нормальную к На основании формул (8) § 8 имеем:

Эти формулы позволяют вычислить компоненты напряжения в полярных координатах.

Из соотношений (4) вычитанием получаем еще одну полезную формулу

дающую напряжения, действующие на дугу окружности со стороны, противоположной центру.

Формулы эти аналогичны формулам, данным Г. В. Колосовым в несколько ином виде.