II. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ЩЕЛЯМИ

Результаты, изложенные в предыдущем отделе, дают возможность чрезвычайно просто решить главнейшие граничные задачи для случая, когда рассматриваемая область представляет собой полуплоскость или плоскость с прямолинейными щелями (вдоль одной и той же прямой), в том числе первую и вторую основные задачи для полуплоскости, уже рассмотренные в предыдущей главе. В этом отделе мы рассмотрим некоторые из таких задач, а также задачу о соприкасании двух упругих полуплоскостей, имеющую важное значение (§ 119).

При этом нам придется применять некоторые из результатов предыдущего отдела и к случаю, когда линия представляет собой неограниченную прямую. Несмотря на то, что случай, когда простирается в бесконечность, не был рассмотрен в предыдущем отделе,

распространение соответствующих результатов на этот случаи осуществляется столь просто, что мы на этом останавливаться не будем, ограничиваясь некоторыми замечаниями в соответствующих местах.

§ 112. Преобразование общих формул для полуплоскости.

Предположим, что рассматриваемое упругое тело занимает нижнюю полуплоскость которую мы обозначим через так что область остается справа, если двигаться по оси Ох в положительном направлении согласно нашему постоянному условию. Верхнюю полуплоскость мы обозначим через а ось Ох будем также обозначать через (рис. 51).

Рис. 51.

Напомним сперва общие формулы, которыми мы постоянно пользовались:

где и функции, голоморфные в Мы будем считать, как в отделе III предыдущей главы, что главный вектор внешних усилий, приложенных к границе, конечен и что напряжения и вращение исчезают на бесконечности, в соответствии с чем мы примем, как в § 90, что при больших

Выпишем еще формулу, вытекающую из формул (1) и (2):

и формулу

получающуюся из формулы (3) дифференцированием по здесь

эти обозначения мы будем применять и в дальнейшем.

2. Преобразуем теперь предыдущие формулы, распространив определение функции также на верхнюю полуплоскость. Это распространение можно выполнить множеством способов, ибо функция вообще не определена в верхней полуплоскости. Однако полезные для применений формулы мы получим, произведя это распространение лишь

определенными способами, один из которых будет сейчас указан. А именно, мы определим функцию в верхней полуплоскости так, чтобы ее значения аналитически продолжили значения в нижней полуплоскости через незагруженные участки границы (если таковые имеются).

Как это сделать, легко догадаться на основании формулы (6). А именно, на основании этой формулы легко заключить, что на незагруженных участках границы, где, следовательно, будем иметь:

если мы определим функцию в верхней полуплоскости следующим образом:

Это будет сейчас пояснено подробнее.

Мы применяем здесь обозначения, введенные раньше, а именно: значками мы обозначаем граничные значения, принимаемые функцией слева и справа от (в нашем случае — из верхней и нижней полуплоскостей), а через обозначаем функцию, получаемую из следующим образом (§ 76):

если функция голоморфна в то функция голоморфна в

Напомним еще [§ 76, формулы (6), (6)], что если функция определена, скажем, в нижней полуплоскости и если существует граничное значение в точке действительной оси, то существует и граничное значение причем

аналогично, если поменять ролями верхнюю и нижнюю полуплоскости,

На основании сказанного ясно, что выражение в правой части (9) представляет собой функцию, голоморфную в верхней полуплоскости и что на незагруженных участках границы действительно имеет место равенство

Напишем в формуле вместо z, считая, что z находится в (а следовательно, z находится в и перейдем к сопряженным значениям в обеих частях равенства. Тогда получим:

откуда

эта формула выражает функцию для через функцию распространенную и на верхнюю полуплоскость

Внося полученное значение в формулу (2), получаем выражение компонент напряжения через одну функцию определенную как в верхней, так и в нижней полуплоскости:

откуда или непосредственно из формулы (6) следует:

Далее, из формулы (7) получаем:

Легко также получить выражение непосредственно для если распространить и функцию на верхнюю полуплоскость, требуя, чтобы и в верхней полуплоскости Замечая, что на основании формулы (9) в верхней полуплоскости будем иметь:

откуда, аналогично предыдущему,

Внося это значение в (3), получаем:

мы видим, что при заданной функции смещения определяются с точностью до жесткого поступательного перемещения всего тела, как и следовало ожидать.

Отметим еще формулу, вытекающую из формулы (17) и из формулы

Добавим, наконец, что из определения (9) функции в верхней полуплоскости и условий (4), (4), относящихся, разумеется, к нижней

полуплоскости, вытекает, что условия (4) сохраняют силу и для верхней полуплоскост и.

3. В дальнейшем мы будем считать, что функция непрерывно продолжима слева и справа на все точки действительной оси, кроме, быть может, конечного числа точек которые будут особо указываться и что

для любой точки действительной оси, кроме, быть может,

Мы будем считать далее, что вблизи точек имеет место оценка

иначе говоря, распространяя естественным образом определение, данное в § 106, на случай, когда линия скачков простирается в бесконечность, мы будем считать, что функция кусочно-голоморфна, причем линией скачков является действительная ось.

Предыдущие условия обеспечивают непрерывную продолжимость компонент напряжения на все точки границы, кроме, быть может, точек (эти исключительные точки введены нами для того, чтобы не потерять решений, важных с точки зрения приложений). Кроме того, эти условия обеспечивают, как легко видеть, непрерывную продолжимость компонент смещения, а также выражения (19) на все без исключения конечные точки границы. Напомним, что непрерывная продолжимость выражения (19) на границу исключает наличие сосредоточенных сил, приложенных к границе (§ 43).

Отметим, наконец, что принятые условия обеспечивают непрерывную продолжимость производных на все точки границы, кроме точек При этом, как легко видеть, производные по от граничных значений равны граничным значениям производных т. е.