Некоторые основные задачи математической теории упругости
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮГЛАВА ПЕРВАЯ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ УПРУГОГО ТЕЛА § 2. Напряжения. § 3. Компоненты напряжения. Зависимость напряжения от ориентировки площадки. § 4. Уравнения, связывающие компоненты напряжения. § 5. Замена координат. Инвариантная квадратичная форма. Тензор напряжений. § 6. Поверхность напряжений. Главные напряжения. § 7. Нахождение главных напряжений и главных осей. § 8. Случай плоского напряженного состояния. II. ДЕФОРМАЦИЯ § 10. Аффинное преобразование. § 11. Бесконечно малое аффинное преобразование. § 12. Разложение бесконечно малого преобразования на чистую деформацию и жесткое перемещение. § 13. Инвариантная квадратичная форма, связанная с деформацией. Поверхность деформаций, главные оси. Замена координат. § 14. Деформация общего вида. § 15. Определение смещений по компонентам деформации. Условия совместимости Сен-Венана. III. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 16. Основной закон теории упругости (обобщенный закон Гука). § 17. Случай изотропного тела. § 18. Основные уравнения статики упругого изотропного тела. § 19. Простейшие случаи упругого равновесия. Основные упругие постоянные. § 20. Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения. § 21. Основные уравнения в компонентах смещения. § 22. Уравнения в компонентах напряжения. § 23. Замечание о фактическом решении основных задач. Принцип Сен-Венана. § 24. Динамические уравнения. Об основных задачах динамика упругого тела. ГЛАВА ВТОРАЯ. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 25. Плоская деформация. § 26. Деформация тонкой пластинки силами, действующими в ее плоскости. § 27. Основные уравнения плоской теории упругости. § 28. Приведение к случаю отсутствия объемных сил. II. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 30. Функция напряжений. § 31. Комплексное представление бигармонической функции. § 32. Комплексное представление смещений и напряжений. § 33. Механическое значение функции f. Выражения для главного вектора и главного момента. § 34. Степень определенности введенных функций. § 35. Общие формулы для конечной многосвязной области. § 36. Случай бесконечной области. § 37. Некоторые свойства, вытекающие из аналитического характера решения. Об аналитическом продолжении через данный контур. § 38. Замена прямоугольных координат. § 39. Полярные координаты. § 40. Основные граничные задачи. Единственность решения. § 41. Приведение основных задач к задачам теории функций комплексного переменного. § 41а. Дополнительные замечания. § 42. Понятие регулярного решения. Единственность регулярного решения. § 43. О сосредоточенных силах, приложенных к границе. § 44. Зависимость напряженного состояния от упругих постоянных. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ СМЕЩЕНИЯ. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ § 45. Многозначные смещения. Дислокации. § 46. Температурные напряжения. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ § 47. Конформное отображение. § 48. Простейшие примеры конформного отображения. § 49. Криволинейные координаты, связанные с конформным отображением на круговую область. § 51. Граничные условия в преобразованной области. ГЛАВА ТРЕТЬЯ. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ПОМОЩИ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ § 52. О рядах Фурье в комплексной форме. § 53. О характере сходимости рядов Фурье. II. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ОКРУЖНОСТЬЮ § 54. Решение первой основной задачи для круга. § 55. Решение второй основной задачи для круга. § 56. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием. § 56а. Примеры. § 57. О сосредоточенных силах вообще. § 57а. Применение к случаю наличия объемных сил. § 58. Некоторые случаи равновесия бесконечной пластинки со вставленной круговой шайбой из другого материала. III. РЕШЕНИЕ ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА § 59. Решение первой основной задачи для кругового кольца. § 59а. Примеры и обобщения. § 60. Многозначные смещения в случае кругового кольца. § 61. Приложение. § 62. Температурные напряжения в полом круговом цилиндре. IV. ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ § 64. Пример применения отображения на круговое кольцо. Решение основных задач для сплошного эллипса. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ОБ ИНТЕГРАЛАХ ТИПА КОШИ I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ § 66. Интегралы типа Коши. § 67. Значения интеграла типа Коши на линии интегрирования. Главное значение интеграла по Коши. § 68. Граничные значения интеграла типа Коши. Формулы Сохоцкого — Племеля. § 69. О производных интеграла типа Коши. § 70. Некоторые элементарные формулы, облегчающие вычисление интегралов типа Коши. § 71. Об интегралах типа Коши по бесконечной прямой. § 72. Продолжение. II. О ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ § 74. Обобщение. § 75. Теорема Гарнака (Harnack). § 76. Некоторые специальные формулы для круга и полуплоскости. § 77. Простейшие приложения: решение основных задач теории потенциала для круга и полуплоскости. ГЛАВА ПЯТАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ К РЕШЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ I. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ОДНИМ ЗАМКНУТЫМ КОНТУРОМ § 78. Приведение основных задач к функциональным уравнениям. § 79. Приведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы существования. § 79а. О некоторых других применениях предыдущих интегральных уравнений. II. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОТОБРАЖАЕМЫХ НА КРУГ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА § 80а. Примеры. § 81. Решение второй основной задачи для круга. § 82. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием. § 82а. Примеры. § 83. Решение второй основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием. § 83а. Примеры. § 84. Общее решение первой основной задачи для областей, отображаемых на круг при помощи полиномов. § 85. Обобщение на случай отображения при помощи рациональных функций. § 86. Решение второй основной задачи. О решении основной смешанной задачи. § 87. Другой способ решения основных задач. § 87a. Пример. § 88. Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам. § 89. Приложение к приближенному решению в общем случае. III. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ § 91. Общие формулы для полубесконечных областей. § 92. Основные формулы, связанные с конформным отображением на полуплоскость. § 93. Решение первой основной задачи для полуплоскости. § 93а. Пример. § 94. Решение второй основной задачи. § 95. Решение основных задач для областей, отображаемых на полуплоскость при помощи рациональных функций. Случай параболического контура. IV. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ. ОБОБЩЕНИЯ § 97. Об одном общем методе решения задач для многосвязных областей. § 98. Интегральные уравнения, предложенные автором. § 99. Применение к контурам с угловыми точками. § 100. О численном решении интегральных уравнений плоской теории упругости. § 101. Интегральные уравнения Шермана — Лауричелла. § 102. Решение первой и второй основных задач по методу Д. И. Шермана. § 103. О решении основной смешанной задачи и некоторых других граничных задач по способу Д. И. Шермана. § 104. Обобщения на случай анизотропных тел. § 105. О других применениях общих представлений решения. ГЛАВА ШЕСТАЯ. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПУТЕМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ § 106. Кусочно-голоморфные функции. § 107. Задача сопряжения. § 108. Определение кусочно-голоморфной функции по заданному скачку. § 109. Одно приложение. § 109а. Пример. § 110. Решение задачи ... § 111. Случай разрывного коэффициента. II. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ЩЕЛЯМИ § 113. Решение первой и второй основных задач для полуплоскости § 114. Решение основной смешанной задачи. § 114а. Примеры. § 115. Задача давления жестких штампов при отсутствии трения. § 116. Продолжение. § 116а. Примеры § 117. Равновесие жесткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения. § 117а. Примеры § 118. Другой способ решения граничных задач для полуплоскости. § 119. Задача соприкасания двух упругих тел (обобщенная плоская задача Герца). § 120. Граничные задачи для плоскости с прямолинейными разрезами III. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ОКРУЖНОСТЬЮ, И ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ, РАЗРЕЗАННОЙ ВДОЛЬ ДУГ ОКРУЖНОСТИ § 121. Преобразование общих формул для области, ограниченной окружностью. § 122. Решение первой и второй основных задач для области, ограниченной окружностью. § 123. Основная смешанная задача для области, ограниченной окружностью. § 123а. Пример. § 124. Граничные задачи для плоскости, разрезанной вдоль дуг окружности. § 124а. Пример. IV. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОТОБРАЖАЕМЫХ НА КРУГ ПРИ ПОМОЩИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ § 126. Решение первой и второй основных задач. § 127. Решение основной смешанной задачи. § 127а. Пример. § 128. Задача соприкасания с жестким профилем. § 128а. Примеры. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. РАСТЯЖЕНИЕ, КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ОДНОРОДНЫХ И СОСТАВНЫХ БРУСЬЕВ I. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ (ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА) § 130. Некоторые формулы. § 131. Общее решение задачи кручения. § 132. Комплексная функция кручения. Функция напряжений. § 133. О решении задачи кручения для различных частных случаев. § 134. Применение конформного отображения. § 134а. Примеры. § 135. Растяжение продольными силами. § 136. Изгиб парами, приложенными на концах. § 137. Изгиб поперечной силой. § 138. О решении задачи изгиба для различных сечений. II. КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ § 140. Решение при помощи интегральных уравнений. III. РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ БРУСЬЕВ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА § 142. Растяжение. § 143. Изгиб парой. § 144. Изгиб поперечной силой. IV. РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ В СЛУЧАЕ РАЗЛИЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУАССОНА § 146. Задача растяжения и изгиба парами. § 147. Частные случаи. § 148. Главная ось растяжения и главные плоскости изгиба. § 149. Применение комплексного представления. Примеры. § 150. Задача об изгибе поперечной силой. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР НЕКОТОРЫХ РАБОТ ПОСЛЕДНЕГО ВРЕМЕНИ I. ОДНОРОДНАЯ СРЕДА С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ § 151. Эффективные решения граничных задач для двусвязных областей. Метод Д. И. Шермана. § 151а. Некоторые конкретные задачи. § 152. Пластинки со многими отверстиями. Периодическая задача. § 153. Бесконечная плоскость с одним отверстием. § 154. Продолжение. II. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ СРЕДА. ПОДКРЕПЛЕННЫЕ ОТВЕРСТИЯ § 155. Включения из того же материала. § 156. Включения из различных материалов. § 157. Усиление отверстий тонкими кольцами. III. СПЛОШНАЯ ОДНОРОДНАЯ СРЕДА (СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ). НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ § 158. Пластинки с полигональным контуром. Разрывные нагрузки. § 159. Пластинки с границами, уходящими в бесконечность. § 160. Различные специальные вопросы. IV. СМЕШАННЫЕ И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 162. Контактные задачи плоской теории упругости. V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОБОБЩЕННОМУ БИГАРМОНИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ § 163. Плоская статическая задача теории упругости для анизотропных тел, обладающих плоскостью упругой симметрии. § 164. Стационарные динамические смешанные задачи. VI. ТЕОРИЯ ТРЕЩИН § 166. Частные задачи. VII. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ БРУСЬЕВ § 168. Составные брусья. VIII. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 170. Применение p-аналитических функций. ДОБАВЛЕНИЕ I. О ПОНЯТИИ ТЕНЗОРА ДОБАВЛЕНИЕ II. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ ДОБАВЛЕНИЕ III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО ЗАДАННОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОТ ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ДОБАВЛЕНИЕ IV. ОДИН ВЫВОД ФОРМУЛ КОМПЛЕКСНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
