Некоторые основные задачи математической теории упругости

Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

Ввиду того, что затронутые в книге вопросы могут, как я надеюсь, представить некоторый интерес для более широкого круга лиц, в частности для лиц, работающих в области технических приложений теории упругости, я старался сделать изложение по возможности доступным и для читателей, знакомых только с основами дифференциального и интегрального исчисления и с элементами теории функции комплексного переменного. Так, например, вопросы, где применяются интегральные уравнения, выделены в отдельные параграфы, которые можно пропустить при чтении без ущерба для понимания остального; глава I, в которой изложены основы математической теории упругости в объеме, достаточном для понимания дальнейшего (и даже несколько большем), предназначена для читателей, не специалистов по теории упругости… Н. И. Мусхелишвили, из предисловия к первому изданию книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА ПЕРВАЯ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ УПРУГОГО ТЕЛА
§ 2. Напряжения.
§ 3. Компоненты напряжения. Зависимость напряжения от ориентировки площадки.
§ 4. Уравнения, связывающие компоненты напряжения.
§ 5. Замена координат. Инвариантная квадратичная форма. Тензор напряжений.
§ 6. Поверхность напряжений. Главные напряжения.
§ 7. Нахождение главных напряжений и главных осей.
§ 8. Случай плоского напряженного состояния.
II. ДЕФОРМАЦИЯ
§ 10. Аффинное преобразование.
§ 11. Бесконечно малое аффинное преобразование.
§ 12. Разложение бесконечно малого преобразования на чистую деформацию и жесткое перемещение.
§ 13. Инвариантная квадратичная форма, связанная с деформацией. Поверхность деформаций, главные оси. Замена координат.
§ 14. Деформация общего вида.
§ 15. Определение смещений по компонентам деформации. Условия совместимости Сен-Венана.
III. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 16. Основной закон теории упругости (обобщенный закон Гука).
§ 17. Случай изотропного тела.
§ 18. Основные уравнения статики упругого изотропного тела.
§ 19. Простейшие случаи упругого равновесия. Основные упругие постоянные.
§ 20. Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения.
§ 21. Основные уравнения в компонентах смещения.
§ 22. Уравнения в компонентах напряжения.
§ 23. Замечание о фактическом решении основных задач. Принцип Сен-Венана.
§ 24. Динамические уравнения. Об основных задачах динамика упругого тела.
ГЛАВА ВТОРАЯ. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 25. Плоская деформация.
§ 26. Деформация тонкой пластинки силами, действующими в ее плоскости.
§ 27. Основные уравнения плоской теории упругости.
§ 28. Приведение к случаю отсутствия объемных сил.
II. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 30. Функция напряжений.
§ 31. Комплексное представление бигармонической функции.
§ 32. Комплексное представление смещений и напряжений.
§ 33. Механическое значение функции f. Выражения для главного вектора и главного момента.
§ 34. Степень определенности введенных функций.
§ 35. Общие формулы для конечной многосвязной области.
§ 36. Случай бесконечной области.
§ 37. Некоторые свойства, вытекающие из аналитического характера решения. Об аналитическом продолжении через данный контур.
§ 38. Замена прямоугольных координат.
§ 39. Полярные координаты.
§ 40. Основные граничные задачи. Единственность решения.
§ 41. Приведение основных задач к задачам теории функций комплексного переменного.
§ 41а. Дополнительные замечания.
§ 42. Понятие регулярного решения. Единственность регулярного решения.
§ 43. О сосредоточенных силах, приложенных к границе.
§ 44. Зависимость напряженного состояния от упругих постоянных.
III. МНОГОЗНАЧНЫЕ СМЕЩЕНИЯ. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
§ 45. Многозначные смещения. Дислокации.
§ 46. Температурные напряжения.
IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
§ 47. Конформное отображение.
§ 48. Простейшие примеры конформного отображения.
§ 49. Криволинейные координаты, связанные с конформным отображением на круговую область.
§ 51. Граничные условия в преобразованной области.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ПОМОЩИ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
§ 52. О рядах Фурье в комплексной форме.
§ 53. О характере сходимости рядов Фурье.
II. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ОКРУЖНОСТЬЮ
§ 54. Решение первой основной задачи для круга.
§ 55. Решение второй основной задачи для круга.
§ 56. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием.
§ 56а. Примеры.
§ 57. О сосредоточенных силах вообще.
§ 57а. Применение к случаю наличия объемных сил.
§ 58. Некоторые случаи равновесия бесконечной пластинки со вставленной круговой шайбой из другого материала.
III. РЕШЕНИЕ ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
§ 59. Решение первой основной задачи для кругового кольца.
§ 59а. Примеры и обобщения.
§ 60. Многозначные смещения в случае кругового кольца.
§ 61. Приложение.
§ 62. Температурные напряжения в полом круговом цилиндре.
IV. ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 64. Пример применения отображения на круговое кольцо. Решение основных задач для сплошного эллипса.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ОБ ИНТЕГРАЛАХ ТИПА КОШИ
I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
§ 66. Интегралы типа Коши.
§ 67. Значения интеграла типа Коши на линии интегрирования. Главное значение интеграла по Коши.
§ 68. Граничные значения интеграла типа Коши. Формулы Сохоцкого — Племеля.
§ 69. О производных интеграла типа Коши.
§ 70. Некоторые элементарные формулы, облегчающие вычисление интегралов типа Коши.
§ 71. Об интегралах типа Коши по бесконечной прямой.
§ 72. Продолжение.
II. О ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 74. Обобщение.
§ 75. Теорема Гарнака (Harnack).
§ 76. Некоторые специальные формулы для круга и полуплоскости.
§ 77. Простейшие приложения: решение основных задач теории потенциала для круга и полуплоскости.
ГЛАВА ПЯТАЯ. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ К РЕШЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
I. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ОДНИМ ЗАМКНУТЫМ КОНТУРОМ
§ 78. Приведение основных задач к функциональным уравнениям.
§ 79. Приведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы существования.
§ 79а. О некоторых других применениях предыдущих интегральных уравнений.
II. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОТОБРАЖАЕМЫХ НА КРУГ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА
§ 80а. Примеры.
§ 81. Решение второй основной задачи для круга.
§ 82. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием.
§ 82а. Примеры.
§ 83. Решение второй основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием.
§ 83а. Примеры.
§ 84. Общее решение первой основной задачи для областей, отображаемых на круг при помощи полиномов.
§ 85. Обобщение на случай отображения при помощи рациональных функций.
§ 86. Решение второй основной задачи. О решении основной смешанной задачи.
§ 87. Другой способ решения основных задач.
§ 87a. Пример.
§ 88. Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам.
§ 89. Приложение к приближенному решению в общем случае.
III. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ 91. Общие формулы для полубесконечных областей.
§ 92. Основные формулы, связанные с конформным отображением на полуплоскость.
§ 93. Решение первой основной задачи для полуплоскости.
§ 93а. Пример.
§ 94. Решение второй основной задачи.
§ 95. Решение основных задач для областей, отображаемых на полуплоскость при помощи рациональных функций. Случай параболического контура.
IV. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ. ОБОБЩЕНИЯ
§ 97. Об одном общем методе решения задач для многосвязных областей.
§ 98. Интегральные уравнения, предложенные автором.
§ 99. Применение к контурам с угловыми точками.
§ 100. О численном решении интегральных уравнений плоской теории упругости.
§ 101. Интегральные уравнения Шермана — Лауричелла.
§ 102. Решение первой и второй основных задач по методу Д. И. Шермана.
§ 103. О решении основной смешанной задачи и некоторых других граничных задач по способу Д. И. Шермана.
§ 104. Обобщения на случай анизотропных тел.
§ 105. О других применениях общих представлений решения.
ГЛАВА ШЕСТАЯ. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПУТЕМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ
§ 106. Кусочно-голоморфные функции.
§ 107. Задача сопряжения.
§ 108. Определение кусочно-голоморфной функции по заданному скачку.
§ 109. Одно приложение.
§ 109а. Пример.
§ 110. Решение задачи …
§ 111. Случай разрывного коэффициента.
II. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ЩЕЛЯМИ
§ 113. Решение первой и второй основных задач для полуплоскости
§ 114. Решение основной смешанной задачи.
§ 114а. Примеры.
§ 115. Задача давления жестких штампов при отсутствии трения.
§ 116. Продолжение.
§ 116а. Примеры
§ 117. Равновесие жесткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения.
§ 117а. Примеры
§ 118. Другой способ решения граничных задач для полуплоскости.
§ 119. Задача соприкасания двух упругих тел (обобщенная плоская задача Герца).
§ 120. Граничные задачи для плоскости с прямолинейными разрезами
III. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ОКРУЖНОСТЬЮ, И ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ, РАЗРЕЗАННОЙ ВДОЛЬ ДУГ ОКРУЖНОСТИ
§ 121. Преобразование общих формул для области, ограниченной окружностью.
§ 122. Решение первой и второй основных задач для области, ограниченной окружностью.
§ 123. Основная смешанная задача для области, ограниченной окружностью.
§ 123а. Пример.
§ 124. Граничные задачи для плоскости, разрезанной вдоль дуг окружности.
§ 124а. Пример.
IV. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОТОБРАЖАЕМЫХ НА КРУГ ПРИ ПОМОЩИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
§ 126. Решение первой и второй основных задач.
§ 127. Решение основной смешанной задачи.
§ 127а. Пример.
§ 128. Задача соприкасания с жестким профилем.
§ 128а. Примеры.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. РАСТЯЖЕНИЕ, КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ОДНОРОДНЫХ И СОСТАВНЫХ БРУСЬЕВ
I. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ (ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА)
§ 130. Некоторые формулы.
§ 131. Общее решение задачи кручения.
§ 132. Комплексная функция кручения. Функция напряжений.
§ 133. О решении задачи кручения для различных частных случаев.
§ 134. Применение конформного отображения.
§ 134а. Примеры.
§ 135. Растяжение продольными силами.
§ 136. Изгиб парами, приложенными на концах.
§ 137. Изгиб поперечной силой.
§ 138. О решении задачи изгиба для различных сечений.
II. КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ
§ 140. Решение при помощи интегральных уравнений.
III. РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ БРУСЬЕВ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА
§ 142. Растяжение.
§ 143. Изгиб парой.
§ 144. Изгиб поперечной силой.
IV. РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ В СЛУЧАЕ РАЗЛИЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУАССОНА
§ 146. Задача растяжения и изгиба парами.
§ 147. Частные случаи.
§ 148. Главная ось растяжения и главные плоскости изгиба.
§ 149. Применение комплексного представления. Примеры.
§ 150. Задача об изгибе поперечной силой.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР НЕКОТОРЫХ РАБОТ ПОСЛЕДНЕГО ВРЕМЕНИ
I. ОДНОРОДНАЯ СРЕДА С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ
§ 151. Эффективные решения граничных задач для двусвязных областей. Метод Д. И. Шермана.
§ 151а. Некоторые конкретные задачи.
§ 152. Пластинки со многими отверстиями. Периодическая задача.
§ 153. Бесконечная плоскость с одним отверстием.
§ 154. Продолжение.
II. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ СРЕДА. ПОДКРЕПЛЕННЫЕ ОТВЕРСТИЯ
§ 155. Включения из того же материала.
§ 156. Включения из различных материалов.
§ 157. Усиление отверстий тонкими кольцами.
III. СПЛОШНАЯ ОДНОРОДНАЯ СРЕДА (СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ). НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 158. Пластинки с полигональным контуром. Разрывные нагрузки.
§ 159. Пластинки с границами, уходящими в бесконечность.
§ 160. Различные специальные вопросы.
IV. СМЕШАННЫЕ И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 162. Контактные задачи плоской теории упругости.
V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОБОБЩЕННОМУ БИГАРМОНИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ
§ 163. Плоская статическая задача теории упругости для анизотропных тел, обладающих плоскостью упругой симметрии.
§ 164. Стационарные динамические смешанные задачи.
VI. ТЕОРИЯ ТРЕЩИН
§ 166. Частные задачи.
VII. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ БРУСЬЕВ
§ 168. Составные брусья.
VIII. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 170. Применение p-аналитических функций.
ДОБАВЛЕНИЕ I. О ПОНЯТИИ ТЕНЗОРА
ДОБАВЛЕНИЕ II. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
ДОБАВЛЕНИЕ III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО ЗАДАННОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОТ ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ
ДОБАВЛЕНИЕ IV. ОДИН ВЫВОД ФОРМУЛ КОМПЛЕКСНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Некоторые основные задачи математической теории упругости

Оглавление