§ 42. Понятие регулярного решения. Единственность регулярного решения.

1. В § 40 при постановке основных граничных задач и при доказательстве единственности решения мы предполагали, что компоненты смещения и компоненты напряжения непрерывны вплоть до границы области То же предположение мы сделали в § 41.

Условие непрерывности вплоть до границы компонент смещения эквивалентно условию непрерывности вплоть до границы выражения

Из условия же непрерывности вплоть до границы компонент напряжения следует непрерывность вплоть до границы выражения

но не обратно: выражение (2) может быть, очевидно, непрерывно вплоть до границы без того, чтобы этим свойством обладали компоненты напряжения.

Между тем постановка граничных задач в том виде, как это сделано в § 41, кроме п. 6, требует лишь непрерывности вплоть до границы выражений (1) и (2), без обязательного требования непрерывности компонент напряжения.

Поэтому представляется естественным заменить требование непрерывности компонент напряжения менее ограничительным требованием непрерывности вплоть до границы выражения иными словами, требованием, чтобы выражение (2) было непрерывно продолжимо на все точки границы L (§ 29, п. 3). Такая постановка вопроса представляется наиболее естественной и с механической точки зрения.

Однако при применении методов эффективного решения граничных задач, которыми мы будем пользоваться ниже, целесообразно, в целях значительного упрощения рассуждений, наложить на искомые функции несколько более ограничительное условие, заключающееся в следующем требовании: функции непрерывно продолжимы на все точки границы области

Решение, обладающее этим свойством, мы будем называть регулярным.

Если решение регулярно в только что указанном смысле, то выражения (1) и (2), очевидно, непрерывно продолжимы на Обратное же, вообще говоря, несправедливо: из непрерывной продолжимости на выражений (1) и (2) следует, очевидно, непрерывная продолжимость функции и комбинации или, что сводится к тому же, комбинации но не функций в отдельности.

В дальнейшем (если противное не оговорено), мы будем считать рассматриваемые решения регулярными.

2. В § 40 были доказаны теоремы единственности решений основных граничных задач в предположении, что компоненты смещения и напряжения непрерывны вплоть до границы.

Легко доказать теоремы единственности для первой и второй основных задач в предположении, что рассматриваемые решения регулярны. При доказательстве мы будем считать, что рассматриваемая область конечна, так как распространение доказательства на случай бесконечной области никаких затруднений не представляет.

Начнем с первой основной задачи. Если через мы обозначим функции, соответствующие разности двух предполагаемых решений, то эти функции будут голоморфны во всей области так как при вычитании логарифмические члены формул (17) § 41 сократятся. Граничные

условия для этих функций запишутся так:

Здесь, как всегда, обозначает точку границы; некоторые (неизвестные заранее) постоянные. Под

следует подразумевать соответствующие граничные значения. Рассмотрим интеграл

взятый в положительном направлении по всей границе области. Через обозначены действительная и мнимая части функции так что

вспомним также, что (§ 30, п. 3). Но в силу условий (3)

где некоторые (действительные) постоянные. Поэтому

Но

где интегралы берутся по некоторому пути, заключенному в соединяющему произвольную фиксированную точку с переменной точкой Так как функция голоморфна (и, следовательно, однозначна) в то, как легко видеть на основании предыдущей формулы

С другой стороны, преобразуя криволинейный интеграл (4) в двойной согласно формуле Остроградского — Грина, получаем после элементарных выкладок:

Следовательно, в силу того, что будем иметь: Отсюда следует, что где С — действительная постоянная, и, следовательно, где у — постоянная. Из формулы (2)

следует тогда, что

Отсюда и из (3) находим, что функция голоморфная в принимает на контурах постоянные значения. На основании сказанного в п. 4 § 29 это возможно лишь в случае, если во всей области Таким образом,

где у — некоторая постоянная. Это доказывает, что разность двух предполагаемых решений дает лишь жесткое перемещение всего тела как целого, а это и требовалось доказать.

Единственность регулярного решения задачи II доказывается аналогично при помощи рассмотрения интеграла

который получим, если в правой части (4) напишем вместо

и здесь, конечно, тоже предполагается, что речь идет о разности двух возможных решений.

Преобразуя предыдущий интеграл в двойной и пользуясь формулами (12) § 30, легко показать, что

Но, по условию, на Следовательно, на основании формулы основании соотношения в области откуда следует, что Формула (1) показывает тогда, что Но так как на то граничное значение функции — равно нулю на Следовательно, — во всей области откуда следует, что во всей этой области.

Таким образом, теорема единственности для задачи II доказана. Замечание. Приведенные доказательства теорем единственности можно, очевидно, непосредственно распространить на более общие случаи, аналогичные тем, которые были указаны в замечании к п. 3 § 40