§ 55. Решение второй основной задачи для круга.

Это решение совершенно аналогично предыдущему. Именно, из условия (1) § 41 имеем:

Представляя заданное выражение в виде комплексного ряда Фурье

и внося в формулу (1) разложения (6) предыдущего параграфа, получаем, как в упомянутом параграфе:

откуда (ср. предыдущий параграф)

Предыдущими формулами определяются все коэффициенты. Коэффициент а также вполне определяется формулой (3), в противоположность случаю предыдущего параграфа. Именно, из равенства (3) и равенства, получаемого переходом к сопряженным значениям, следует:

откуда

(вспомним, что всегда

Как в предыдущем параграфе, легко покажем, что найденные ряды действительно удовлетворяют условиям задачи, если, например, имеют производные второго порядка, удовлетворяющие условиям Дирихле.