§ 132. Комплексная функция кручения. Функция напряжений.

Иногда удобно вводить в рассмотрение вместо функции кручения сопряженную с ней гармоническую функцию связанную с условиями Коши — Римана:

Легко выразить граничное условие (6) § 131 при помощи функции

Предположим для большей общности, что рассматриваемый брус может содержать продольные (цилиндрические) полости, так что граница области может состоять из нескольких простых замкнутых контуров из которых последний охватывает все предыдущие (рис. 16 на стр. 119).

Пусть обозначает йасательную к одному из контуров проведенную в положительном направлении обхода (оставляющем область слева). Тогда имеем:

где дуга контура откуда следует на основании условий (1):

или

Кроме того,

Таким образом, условие (6) § 131 примет вид

откуда следует:

где постоянные, могущие иметь различные значения на различных контурах

Функция сопряженная с данной однозначной гармонической функцией, может быть, вообще говоря, многозначна. Но в нашем случае этого быть не может, ибо, как показывает формула (4), функция возвращается к прежнему значению при обходе по любому из контуров

Мы знаем, что функция определена с точностью до произвольной постоянной; следовательно, ее производные определены вполне, а отсюда следует, что функция определяется равенствами (1) с точностью до произвольной постоянной.

Из этого заключаем, что постоянные фигурирующие в граничных условиях (4), не могут быть фиксированы произвольным образом. Можно зафиксировать произвольно только одну из них, например положить тогда все остальные должны иметь вполне определенные (не известные заранее) значения.

Предположим, что мы придали постоянным какие-либо определенные значения. Тогда задача определения есть задача нахождения гармонической функции по заданным ее значениям на контуре, т. е. «задача Дирихле», о которой мы упоминали уже в § 62 (замечание) и в § 77 и которая, как известно, имеет всегда одно вполне определенное решение. Найдя мы можем найти и из уравнений (1). Но если постоянные были выбраны наудачу, то функция может оказаться многозначной. Таким образом, постоянные должны быть определены из условия однозначности функции как мы сказали, одна из них может быть зафиксирована произвольно.

Потому-то в случае многосвязной области, вообще говоря, удобнее оперировать непосредственно с функцией а не с функцией

В случае же односвязной области, ограниченной одним простым замкнутым контуром однозначность функции будет обеспечена сама собой; в граничном условии будет фигурировать одна-единственная постоянная, которую можно произвольно фиксировать. В этом случае часто гораздо удобнее оперировать с функцией

Часто бывает также очень удобно рассматривать функцию комплексного переменного определяемую равенством:

где функция кручения, а сопряженная с ней функция.

Функцию можно назвать комплексной функцией кручения. Она, очевидно, голоморфна в области

На основании формул (3) § 131 имеем:

откуда, применяя наши обычные обозначения,

Можно также с удобством пользоваться так называемой функцией напряжений, определяемой равенством:

Через эту функцию компоненты напряжения выражаются так:

Функция уже не гармоническая, она удовлетворяет, очевидно, уравнению

На границе функция напряжений удовлетворяет условию

где постоянные, те же, что в условии (4).

Линии, определяемые в плоскости сечения уравнением

суть «линии касательных напряжений», т. е. линии, касательные к которым в каждой данной точке имеют направление вектора напряжения действующего на элемент сечения (рассчитанного, разумеется, на единицу площади). Это непосредственно следует из формул (8). Границы области всегда являются линиями напряжений, что, конечно, очевидно и

С точки зрения практической представляет большой интерес нахождение тех точек сечения, где абсолютное значение касательного напряжения

достигает наибольшего значения, ибо такие точки являются наиболее опасными в смысле разрушения материала.

Легко показать, что эти точки расположены на контуре области. Действительно,

Простые вычисления показывают, что, принимая во внимание уравнение (9), будем иметь:

Значит, во всей области отсюда на основании известной теоремы следует, что функция может достигнуть своего максимума только на границе области, что и доказывает наше утверждение.