§ 140. Решение при помощи интегральных уравнений.

Будем считать, что мы имеем дело с основным случаем (§ 139, п. 1).

Принимая во внимание непрерывность искомой функции во всей области и разрывность ее нормальных производных на контурах естественно попытаться представить эту функцию в виде потенциала простого слоя, распределенного на этих контурах, так как потенциал простого слоя обладает как раз этими свойствами. Мы придем

таким образом к обобщению известной задачи Робена — Пуанкаре. Итак, положим:

здесь обозначает расстояние точки до точки расположенной на одном из контуров (плотность слоя) обозначает искомую непрерывную функцию точки Буквой мы вместе с тем обозначаем дугу того из контуров по которому производится интегрирование.

На основании известных свойств потенциала простого слоя функция определяемая предыдущим равенством, будет непрерывной во всей области. Нормальная же производная будет разрывна при переходе через контуры именно, имеют место известные соотношения:

здесь и относятся к точке одного из контуров обозначает расстояние между точками угол между вектором и нормалью в точке (напомним, что всегда обозначает нормаль, внешнюю но отношению к области рис. 61).

Граничные условия (7) § 139 обращаются на основании равенств (2) в уравнения:

где обозначает точку на контуре

Мы получили, таким образом, уравнение Фредгольма, которое можно записать так:

где положено:

Выясним, при каких условиях уравнение (4) имеет решение. Однородное уравнение

получаемое из уравнения (4), если положить т. е. то

имеет одно-единственное линейно независимое решение.

Действительно, функция определяемая равенством (1), где есть решение однородного уравнения (6), будет удовлетворять граничным условиям (7) § 139 при На основании доказанного в предыдущем параграфе такая функция есть постоянная во всей области Но при равенства (2) дают:

Итак, решение однородного уравнения (6) есть плотность слоя, распределенного на внешней границе области и дающего постоянный потенциал в этой области; это, таким образом, есть двумерный аналог «естественного распределения» электричества на проводнике. Как известно, плотность такого распределения определена с точностью до постоянного множителя, а это и доказывает наше утверждение.

На основании известной теоремы Фредгольма союзное однородное уравнение, т. е. уравнение

будет также допускать одно-единственное (линейно независимое) решение. Легко найти это последнее. Именно, легко проверить, что этим решением будет

Действительно, если точка взята на то

Все это следует из хорошо известных формул:

знак меняется на обратный, так как в этом случае по нашим обозначениям будет внешней нормалью по отношению к этому контуру, а не внутренней, как по отношению к другим контурам

Принимая во внимание эти формулы, сразу устанавливаем, что величина определяемая формулой (8), удовлетворяет уравнению (7), если точка взята на Наконец, если точка взята на

(страница пропущена)

§ 140а. Примеры.

В некоторых частных случаях можно, конечно, получить решение задачи, не прибегая к интегральным уравнениям. И здесь конформное отображение может иногда оказать большие услуги, как это будет показано в первом из нижеследующих примеров.

1. Кручение кругового цилиндра, армированного продольным круговым стержнем из другого материала. Пусть сечение бруса состоит из области ограниченной окружностью и области ограниченной той же окружностью и окружностью охватывающей первую. Пусть первой области соответствует модуль сдвига а второй — модуль

Легко непосредственно убедиться, что если окружности концентрические и если начало координат взято в центре, то функция кручения будет постоянной. Следовательно, закручивание стержня и окружающего полого цилиндра происходит так, как если бы эти тела не были связаны друг с другом и жесткость при кручении составного бруса равна сумме жесткостей составных частей.

Случай же, когда и не концентричны, значительно сложнее. Будем пользоваться обозначениями § 48, п. 1, только вместо будем теперь писать Пусть

— соотношение, отображающее плоскость на плоскость так, чтобы окружностям соответствовали концентрические окружности на плоскости радиусов Эти радиусы и постоянная а связаны с радиусами и окружностей и и с расстоянием I между их центрами формулами (7) и (8) § 48. Не забудем, что (§ 48)

Области будет в силу формулы (1) соответствовать круг а области круговое кольцо

Пусть функция кручения; ее значения в областях будем обозначать соответственно через Пусть функция, сопряжен (определяемая отдельно в областях ее значения в будем обозначать через Функций гармони» ческие в соответствующих областях.

Граничные условия, которым удовлетворяют таковы (см. § 139):

В настоящем параграфе под мы будем понимать нормаль, направленную от центра соответствующей окружности, под дугу, отсчитываемую против часовой стрелки.

Считая, что частные производные первого порядка функций непрерывны вплоть до границ областей их определения (это подтвердится после получения решения), и принимая во внимание соотношения

вытекающие из соотношений Коши — Римана, мы можем заменить условия (3) следующими:

Пусть комплексная функция кручения и пусть

— та же функция, выраженная через переменную . Пусть значения этой функции в областях где есть круг кольцо

Тогда мы будем иметь:

откуда, полагая

Заметим далее, что

Но мы имеем:

Предыдущий ряд (абсолютно) сходится при Значит, мы будем иметь:

Подставляя ряды (6), (7) и (8) в условия (3) и сравнивая коэффициенты при получаем без всякого труда для

где

равны расстояниям центров окружностей и до начала координат [см. § 48, формула (6)].

Постоянные остаются совершенно произвольными, как и следовало ожидать. Условие же непрерывности дает, как легко видеть, общее значение остается произвольным. Мы можем поэтому положить:

Из формул (9) следует:

где

Подставляя эти значения в формулы (6) и (7), получаем окончательно:

Эти ряды и их производные, как легко видеть, сходятся абсолютно и равномерно в соответствующих областях, включая и контуры.

Если т. е. если получим для и одно и то же выражение

т. е.

Это — комплексная функция кручения, соответствующая случаю однородного цилиндра. Если начало координат возьмем в центре, то получим:

(см. § 131, замечание 2).

Таким образом, можем сказать, что функция определяемая второй из формул (13), состоит из двух частей: части, соответствующей случаю, когда мы имеем сплошной однородный брус (первый член), и части, выражающей «возмущение», вызванное присутствием стержня.

Раз функции найдены, то вычисление компонент напряжения при помощи формул § 134 не представляет никаких затруднений Жесткость при кручении тоже легко вычисляется при помощи формул § 134. После элементарных выкладок и преобразований получим:

где

обозначает полярный момент инерции сплошного круга радиуса относительно его центра, а полярный момент инерции сплошного круга радиуса относительно центра первого круга.

Если обозначает жесткость при кручении отдельно взятого стержня с модулем сдвига жесткость при кручении окиужаюшего

полого цилиндра, из которого удален стержень, то

Из формул (16) и (14) выводим:

откуда следует, что

как это можно было предвидеть заранее.

Для однородного цилиндра мы вместо имели бы

В общем случае при малом имеем приближенно, пренебрегая четвертой и высшими степенями

откуда следует приближенная формула

Эта формула совпадает при с формулой Макдональда (Macdonald [1]) для полого цилиндра.

Если цилиндр армирован не одним, а несколькими продольными стержнями из одного и того же материала и если стержни настолько тонки и удалены друг от друга, что районы вызываемых ими «возмущений» практически не перекрываются, то, очевидно, приближенная формула (19) может быть применена и к этому случаю, если подразумевать под I сумму моментов инерции их сечений относительно центра окружности

Еще проще решается задача о кручении в случае, когда конфокальные эллипсы, а также и для случая, когда границы — определенным образом расположенные эпитрохоиды.

2. Кручение прямоугольного бруса, составленного из двух также прямоугольных брусьев. Можно часто также получить решение задачи кручения в случаях,

исключенных нами из рассмотрения при приведении задачи к интегральному уравнению, например в случаях, когда контуры имеют угловые точки. Один из таких случаев рассмотрен в нижеследующем примере.

Рассмотрим прямоугольный брус, составленный из двух также прямоугольных брусьев, сечения которых — прямоугольники со сторонами спаянных вдоль грани шириной (рис. 62).

Рис. 62.

Модули сдвигов составляющих брусьев обозначим соответственно через Направим ось Оу по линии раздела областей соответствующих различным материалам, и возьмем начало координат в середине этой линии; обозначим через значения функции кручения в областях

Введем, далее, гармоническую функцию значения которой в областях обозначим через Как легко непосредственно убедиться, граничные условия сводятся к следующим:

Будем искать гармонические функции в виде рядов:

где для краткости введено обозначение

Каждый член обоих предыдущих рядов есть, очевидно, гармоническая функция. При этом числа подобраны так, что удовлетворены условия ясно также, что удовлетворено условие

Остается удовлетворить условиям (а) и Для этого заметим, что функцию можно в промежутке представить в виде ряда

где для краткости введено обозначение

т. е.

На основании условия (а) будут удовлетворены, если

а условия если

Решая три предыдущих уравнения относительно и подставляя найденные значения в ряды получаем после некоторых очевидных преобразований:

Форма коэффициентов показывает, что полученные ряды сходятся довольно быстро (притом равномерно и абсолютно). Так же очевидна законность почленного дифференцирования, которым мы пользовались в процессе вывода.

Функция кручения дается формулами:

Жесткость при кручении вычисляется по формуле (6) § 139, которая в нашем случае принимает вид:

Внося в эту формулу предыдущие выражения для получаем путем совершенно элементарных выкладок (ср. случай однородного бруса, Love [1], § 225):

Если велики по сравнению с (практически при то можем с достаточной точностью принять:

и тогда получим для приближенную формулу (ср. аналогичное значение для случая однородного бруса, Love [1], § 225):

3. Отметим в заключение сравнительно недавно опубликованную статью Д. И. Шермана [27], в которой решена задача кручения эллиптического цилиндра, армированного круговым стержнем. Метод решения, указанный в этой статье, может быть с успехом применен для приближенного решения задач интересующего нас здесь типа и в ряде других случаев, представляющих практический интерес.