Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 140. Решение при помощи интегральных уравнений.Будем считать, что мы имеем дело с основным случаем (§ 139, п. 1). Принимая во внимание непрерывность искомой функции таким образом к обобщению известной задачи Робена — Пуанкаре. Итак, положим:
здесь На основании известных свойств потенциала простого слоя функция
здесь и относятся к точке Граничные условия (7) § 139 обращаются на основании равенств (2) в уравнения:
где Мы получили, таким образом, уравнение Фредгольма, которое можно записать так:
где положено:
получаемое из уравнения (4), если положить
имеет одно-единственное линейно независимое решение. Действительно, функция
Итак, решение На основании известной теоремы Фредгольма союзное однородное уравнение, т. е. уравнение
будет также допускать одно-единственное (линейно независимое) решение. Легко найти это последнее. Именно, легко проверить, что этим решением будет
Действительно, если точка
Все это следует из хорошо известных формул:
Принимая во внимание эти формулы, сразу устанавливаем, что величина (страница пропущена) § 140а. Примеры.В некоторых частных случаях можно, конечно, получить решение задачи, не прибегая к интегральным уравнениям. И здесь конформное отображение может иногда оказать большие услуги, как это будет показано в первом из нижеследующих примеров. 1. Кручение кругового цилиндра, армированного продольным круговым стержнем из другого материала. Пусть сечение Легко непосредственно убедиться, что если окружности Случай же, когда и
— соотношение, отображающее плоскость
Области Пусть Граничные условия, которым удовлетворяют
В настоящем параграфе под Считая, что частные производные первого порядка функций
вытекающие из соотношений Коши — Римана, мы можем заменить условия (3) следующими:
Пусть
— та же функция, выраженная через переменную Тогда мы будем иметь:
откуда, полагая
Заметим далее, что
Но мы имеем:
Предыдущий ряд (абсолютно) сходится при
Подставляя ряды (6), (7) и (8) в условия (3) и сравнивая коэффициенты при
где
Постоянные
Из формул (9) следует:
где
Подставляя эти значения в формулы (6) и (7), получаем окончательно:
Эти ряды и их производные, как легко видеть, сходятся абсолютно и равномерно в соответствующих областях, включая и контуры. Если
т. е.
Это — комплексная функция кручения, соответствующая случаю однородного цилиндра. Если начало координат возьмем в центре, то получим:
(см. § 131, замечание 2). Таким образом, можем сказать, что функция Раз функции
где
Если полого цилиндра, из которого удален стержень, то
Из формул (16) и (14) выводим:
откуда следует, что
как это можно было предвидеть заранее. Для однородного цилиндра
В общем случае при малом имеем приближенно, пренебрегая четвертой и высшими степенями
откуда следует приближенная формула
Эта формула совпадает при Если цилиндр армирован не одним, а несколькими продольными стержнями из одного и того же материала и если стержни настолько тонки и удалены друг от друга, что районы вызываемых ими «возмущений» практически не перекрываются, то, очевидно, приближенная формула (19) может быть применена и к этому случаю, если подразумевать под I сумму моментов инерции их сечений относительно центра окружности Еще проще решается задача о кручении в случае, когда 2. Кручение прямоугольного бруса, составленного из двух также прямоугольных брусьев. Можно часто также получить решение задачи кручения в случаях, исключенных нами из рассмотрения при приведении задачи к интегральному уравнению, например в случаях, когда контуры имеют угловые точки. Один из таких случаев рассмотрен в нижеследующем примере. Рассмотрим прямоугольный брус, составленный из двух также прямоугольных брусьев, сечения которых — прямоугольники со сторонами
Рис. 62. Модули сдвигов составляющих брусьев обозначим соответственно через Введем, далее, гармоническую функцию
Будем искать гармонические функции
где для краткости введено обозначение
Каждый член обоих предыдущих рядов есть, очевидно, гармоническая функция. При этом числа Остается удовлетворить условиям (а) и
где для краткости введено обозначение
т. е.
На основании
а условия
Решая три предыдущих уравнения относительно
Форма коэффициентов показывает, что полученные ряды сходятся довольно быстро (притом равномерно и абсолютно). Так же очевидна законность почленного дифференцирования, которым мы пользовались в процессе вывода. Функция кручения дается формулами:
Жесткость при кручении
Внося в эту формулу предыдущие выражения для
Если
и тогда получим для
3. Отметим в заключение сравнительно недавно опубликованную статью Д. И. Шермана [27], в которой решена задача кручения эллиптического цилиндра, армированного круговым стержнем. Метод решения, указанный в этой статье, может быть с успехом применен для приближенного решения задач интересующего нас здесь типа и в ряде других случаев, представляющих практический интерес.
|
1 |
Оглавление
|