§ 128. Задача соприкасания с жестким профилем.

1. Постановка задачи. Единственность решения. В очень многих случаях, с которыми приходится иметь дело на практике, граничные задания обусловливаются соприкасанием поверхности рассматриваемого упругого тела с поверхностями других тел.

Некоторые частные случаи задач этого типа были уже рассмотрены нами выше (§ 58, 115—119).

Мы рассмотрим здесь случай, когда данное упругое тело соприкасается с абсолютно жестким телом данной формы, причем соприкасание происходит вдоль всей границы упругого тела. Мы будем, далее, считать, что поверхности тел — абсолютно гладкие, так что силы трения отсутствуют.

Эта задача, насколько известно автору, была впервые поставлена и решена Адамаром (Hadamard [2]) для случая упругого шара.

Решение задачи для плоских областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций, было дано автором в статье [19] и воспроизведено с некоторыми дополнениями во втором издании настоящей книги. Ниже (в п. 2) будет приведено решение, несколько отличное по форме, но то же самое по существу.

Ограничимся в дальнейшем плоским случаем и будем считать, что граница рассматриваемого тела состоит из одного простого замкнутого контура; при этом тело может быть конечным или бесконечным (бесконечная упругая пластинка с отверстием). В соответствии с этим мы будем иметь дело с одним из двух случаев.

А. Случай конечной области. В отверстие данной формы, проделанное в неподвижном жестком теле (пластинке), вкладывается упругая шайба, контур которой до деформации мало отличался по форме и положению от контура отверстия.

Б. Случай бесконечной области. В отверстие, проделанное в бесконечном упругом теле (пластинке), вкладывается абсолютно жесткая шайба, контур которой мало отличался от контура отверстия до деформации; положение жесткой шайбы считается заданным. В этом случае (бесконечной области) считается, что заданы значения напряжений и вращения на бесконечности (т. е. при прежних обозначениях — значения постоянных ) и, кроме того, главный вектор внешних усилий, действующих со стороны шайбы на окружающую внешнюю пластинку. Этот главный вектор равен, очевидно, главному вектору сил, приложенных извне к жесткой шайбе (сюда не включаются силы, действующие на контур шайбы со стороны упругой пластинки).

Составим граничные условия, соответствующие нашей задаче, хотя мы могли бы просто сослаться на сказанное в § 115, правда, для частного случая прямолинейной границы. Но здесь мы дадим несколько иное обоснование, быть может, немного более наглядное, а также добавим некоторые замечания.

Прежде всего из условия отсутствия трения следует, что на границе упругого тела

где касательная компонента напряжения, действующего на контур.

Выразим, далее, условие соприкасания контуров упругого и жесткого тел. Мы будем считать во всем дальнейшем, как было уже условлено, что соприкасание происходит вдоль всей границы.

Для большей ясности представим себе дело так, останавливаясь пока на случае А. Пусть упругая шайба предварительно наложена на отверстие в жесткой пластинке (в виде покрышки), так что ее края несколько заходят за края отверстия. Пусть, далее, при помощи подходящих усилий, приложенных к контуру шайбы, точкам этого контура сообщаются нормальные смещения такой величины, чтобы контур шайбы совпал с контуром отверстия, после чего шайба вкладывается в отверстие и предоставляется самой себе. Шайба придет в некоторое состояние упругого равновесия, которое и требуется определить. Так как точки края шайбы могут свободно скользить по краю отверстия, то касательная компонента смещения точки контура нам заранее не известна. Зато нам известна нормальная компонента этого смещения, ибо она определяется взаимным положением контура отверстия и контура шайбы до деформации. Итак, граничные условия нашей задачи сводятся к следующим:

где заданная действительная функция дуги контура.

Обратим внимание еще на следующее обстоятельство. Операцию сжимания шайбы до размеров отверстия (сообщением нормальных

смещений можно выполнять, исходя из различных положений шайбы до деформации; все эти положения могут быть получены из одного, определенного при помощи жесткого перемещения шайбы как целого (как всегда, речь, разумеется, идет о малых смещениях). Если исходить из какого-либо положения шайбы деформации), отличного от того, которое было взято при выводе второго условия (1), то величина фигурирующая в этом условии, будет иметь другое значение которое отличается от нормальной компонентой того жесткого перемещения, при помощи которого одно первоначальное положение шайбы получается из другого; граничные условия будут уже такими:

Но очевидно, что, решив задачу (1), мы сможем получить решение задачи (1), наложив на первое решение только что упомянутое жесткое перемещение, не влияющее, как известно, на распределение напряжений; таким же образом из решения задачи (1) можем вывести решение задачи (1).

Перейдем теперь к случаю (бесконечная область). Повторяя почти буквально сказанное выше, мы опять придем к условиям (1), к которым следует присоединить еще условия, перечисленные раньше (а именно следует присоединить задание величин Добавим еще, что жесткие перемещения упругой пластинки сводятся в нашем случае исключительно к поступательным, ибо величина С, характеризующая вращение на бесконечности, задана по условию.

Легко показать, что задача, соответствующая граничным условиям (1), не может допускать двух различных решений. Действительно, вспомним, что для доказательства единственности решения основных задач главную роль играло равенство нулю (на контуре) выражения

составленного для «разности» двух решений (§ 40). Но это выражение равно нулю и для рассматриваемой теперь задачи. В самом деле, выражение это есть скалярное произведение вектора изображающего напряжение, приложенное к контуру, и вектора ( изображающего смещение точки контура. Так как, далее, для «разности» двух решений, удовлетворяющих граничному условию (1), мы имеем:

то векторы и взаимно перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение равно нулю.

Поэтому, повторяя буквально рассуждения § 40, мы убедимся, что компоненты напряжения в обоих решениях одинаковы, а следовательно, смещения могут различаться только жестким перемещением тела как целого.

Очевидно далее, что если исключить случай, когда тело ограничено окружностью, и этого различия в смещениях быть не может. В случае круговой шайбы решения, очевидно, могут отличаться друг от друга жестким поворотом вокруг центра; в случае бесконечной пластинки с круговым отверстием мы опять имеем полную определенность, ибо мы считаем, что вращение на бесконечности задано.

Мы доказали, что если решение поставленной задачи существует, то оно единственно; то, что решение на самом деле существует, было доказано Д. И. Шерманом [22]. Мы не будем останавливаться на этом доказательстве, а укажем эффективный способ решения для областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций.

2. Решение для областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций. Метод, при помощи которого мы будем решать нашу задачу, вполне аналогичен методу, подробно изложенному в § 126 для случая первой и второй основных задач 2). Поэтому мы сделаем здесь только общие указания и затем поясним применение метода на примерах.

Пусть область отображена на круг соотношением

где, по условию, со рациональная функция; окружность мы по-прежнему обозначим через у, а положительным направлением на ней выберем направление, обратное движению часовой стрелки.

Граничные условия (1), при обозначениях § 50, запишутся так:

Выражения для через функции комплексного переменного могут быть получены соответственно из формул (11) и (7) § 50. Чтобы получить выражение для достаточно почленно вычесть равенство (11) § 50 из равенства, полученного переходом к сопряженным значениям (тогда в левой части получим Аналогично получим выражение для из формулы (7) § 50. Внося эти выражения в равенство (3), получаем граничные условия задачи в следующем виде:

где всюду подразумеваются граничные значения рассматриваемых функций при изнутри обозначает заданную действительную функцию точки контура, относительно которой мы будем считать, что она удовлетворяет условию

Будем пока считать, что в случае, когда область бесконечна, главный вектор внешних усилий, приложенных к обводу отверстия (т. е. к границе области равен нулю. Будем, кроме того, считать, что напряжения исчезают на бесконечности.

Тогда функции будут голоморфны внутри у, так же как и функции

Введем теперь кусочно-голоморфные (за исключением конечного числа полюсов) функции определенные следующим образом:

Тогда предыдущие граничные условия могут быть, очевидно, записаны так:

Функции как было уже сказано, кусочно-голоморфны, за исключением конечного числа полюсов, т. е. они голоморфны в каждой из областей кроме конечного числа точек, где они имеют полюсы.

Полюсы эти и их максимальные порядки заранее известны, так как они происходят от полюсов рациональной функции и от множителей в правой части (5). Легко видеть, что каждому полюсу расположенному внутри (вне) соответствует полюс того же порядка, расположенный вне (внутри) у.

Применяя теперь результаты § 108 к решению граничных задач (6), (7), получаем соответственно:

где рациональные функции с неопределенными коэфциентами, имеющие в заданных точках полюсы не выше заданных

порядков. Общие их выражения легко написать, но мы этого делать не будем, а заметим лишь следующее. По самому определению (4) и (5) функций мы должны иметь:

откуда на основании формул (8) и (9) легко заключаем, что рациональные функции должны тождественно удовлетворять следующим условиям:

При выводе последнего условия мы воспользовались тем, что если действительная функция и если

то

или, замечая, что

Соотношения (10), (11) налагают определенные условия на коэффициенты рациональных функций эти условия вместе с другими, которые будут указаны ниже, и послужат для определения упомянутых коэффициентов.

Применяя формулы (8), (9) к точкам, расположенным внутри у, получим на основании формул (4) и (5):

Применение формул (8), (9) к точкам, расположенным вне у, ничего нового не даст, а приведет лишь к условиям (10), (11), которые мы будем считать выполненными. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением предыдущих уравнений.

Разделяя предыдущие уравнения соответственно на и замечая, что

можем переписать эти уравнения так:

где известные функции, содержащие линейным образом некоторое число неопределенных пока постоянных.

Из предыдущих уравнений легко исключить функцию Действительно, дифференцируя второе и складывая с первым, получаем после простых приведений:

где

Таким образом, функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка:

где

— известная функция, содержащая линейным образом некоторое число неопределенных постоянных, а

Интегрируя уравнение (18), получаем:

где К — постоянная.

Найдя можем определить по формуле (15). Неизвестные постоянные, фигурирующие в выражениях для и определятся из условий (10), (11), а также из условия голоморфности этих функций внутри у.

Мы считали в случае, когда область бесконечна, что напряжения исчезают на бесконечности. Это условие несущественно. Если считать, что напряжения имеют на бесконечности заданные конечные значения, то предыдущие рассуждения останутся в силе. Следует лишь учесть, что в рассматриваемом случае функции имеют полюсы первого порядка при с заданными главными частями, что может отразиться лишь на виде рациональных функций

Мы считали, кроме того, что в случае бесконечной области главный вектор равен нулю.

Если главный вектор отдичен от нуля, то этот случай легко сводится к предыдущему при помощи не раз примененного выше приема (см. следующий параграф, пример 2).

Замечание. Совершенно аналогично решается несколько более общая задача, которую получим, заменив условие условием, что равно заданной функции от