Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 128. Задача соприкасания с жестким профилем.1. Постановка задачи. Единственность решения. В очень многих случаях, с которыми приходится иметь дело на практике, граничные задания обусловливаются соприкасанием поверхности рассматриваемого упругого тела с поверхностями других тел. Некоторые частные случаи задач этого типа были уже рассмотрены нами выше (§ 58, 115—119). Мы рассмотрим здесь случай, когда данное упругое тело соприкасается с абсолютно жестким телом данной формы, причем соприкасание происходит вдоль всей границы упругого тела. Мы будем, далее, считать, что поверхности тел — абсолютно гладкие, так что силы трения отсутствуют. Эта задача, насколько известно автору, была впервые поставлена и решена Адамаром (Hadamard [2]) для случая упругого шара. Решение задачи для плоских областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций, было дано автором в статье [19] и воспроизведено с некоторыми дополнениями во втором издании настоящей книги. Ниже (в п. 2) будет приведено решение, несколько отличное по форме, но то же самое по существу. Ограничимся в дальнейшем плоским случаем и будем считать, что граница рассматриваемого тела состоит из одного простого замкнутого контура; при этом тело может быть конечным или бесконечным (бесконечная упругая пластинка с отверстием). В соответствии с этим мы будем иметь дело с одним из двух случаев. А. Случай конечной области. В отверстие данной формы, проделанное в неподвижном жестком теле (пластинке), вкладывается упругая шайба, контур которой до деформации мало отличался по форме и положению от контура отверстия. Б. Случай бесконечной области. В отверстие, проделанное в бесконечном упругом теле (пластинке), вкладывается абсолютно жесткая шайба, контур которой мало отличался от контура отверстия до деформации; положение жесткой шайбы считается заданным. В этом случае (бесконечной области) считается, что заданы значения напряжений и вращения на бесконечности (т. е. при прежних обозначениях — значения постоянных Составим граничные условия, соответствующие нашей задаче, хотя мы могли бы просто сослаться на сказанное в § 115, правда, для частного случая прямолинейной границы. Но здесь мы дадим несколько иное обоснование, быть может, немного более наглядное, а также добавим некоторые замечания. Прежде всего из условия отсутствия трения следует, что на границе упругого тела
где Выразим, далее, условие соприкасания контуров упругого и жесткого тел. Мы будем считать во всем дальнейшем, как было уже условлено, что соприкасание происходит вдоль всей границы. Для большей ясности представим себе дело так, останавливаясь пока на случае А. Пусть упругая шайба предварительно наложена на отверстие в жесткой пластинке (в виде покрышки), так что ее края несколько заходят за края отверстия. Пусть, далее, при помощи подходящих усилий, приложенных к контуру шайбы, точкам этого контура сообщаются нормальные смещения
где Обратим внимание еще на следующее обстоятельство. Операцию сжимания шайбы до размеров отверстия (сообщением нормальных смещений
Но очевидно, что, решив задачу (1), мы сможем получить решение задачи (1), наложив на первое решение только что упомянутое жесткое перемещение, не влияющее, как известно, на распределение напряжений; таким же образом из решения задачи (1) можем вывести решение задачи (1). Перейдем теперь к случаю Легко показать, что задача, соответствующая граничным условиям (1), не может допускать двух различных решений. Действительно, вспомним, что для доказательства единственности решения основных задач главную роль играло равенство нулю (на контуре) выражения
составленного для «разности» двух решений (§ 40). Но это выражение равно нулю и для рассматриваемой теперь задачи. В самом деле, выражение это есть скалярное произведение вектора
то векторы Поэтому, повторяя буквально рассуждения § 40, мы убедимся, что компоненты напряжения в обоих решениях одинаковы, а следовательно, смещения могут различаться только жестким перемещением тела как целого. Очевидно далее, что если исключить случай, когда тело ограничено окружностью, и этого различия в смещениях быть не может. В случае круговой шайбы решения, очевидно, могут отличаться друг от друга жестким поворотом вокруг центра; в случае бесконечной пластинки с круговым отверстием мы опять имеем полную определенность, ибо мы считаем, что вращение на бесконечности задано. Мы доказали, что если решение поставленной задачи существует, то оно единственно; то, что решение на самом деле существует, было доказано Д. И. Шерманом [22]. Мы не будем останавливаться на этом доказательстве, а укажем эффективный способ решения для областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций. 2. Решение для областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций. Метод, при помощи которого мы будем решать нашу задачу, вполне аналогичен методу, подробно изложенному в § 126 для случая первой и второй основных задач 2). Поэтому мы сделаем здесь только общие указания и затем поясним применение метода на примерах. Пусть область
где, по условию, со Граничные условия (1), при обозначениях § 50, запишутся так:
Выражения для
где всюду подразумеваются граничные значения рассматриваемых функций при Будем пока считать, что в случае, когда область Тогда функции Введем теперь кусочно-голоморфные (за исключением конечного числа полюсов) функции
Тогда предыдущие граничные условия могут быть, очевидно, записаны так:
Функции Полюсы эти и их максимальные порядки заранее известны, так как они происходят от полюсов рациональной функции Применяя теперь результаты § 108 к решению граничных задач (6), (7), получаем соответственно:
где порядков. Общие их выражения легко написать, но мы этого делать не будем, а заметим лишь следующее. По самому определению (4) и (5) функций
откуда на основании формул (8) и (9) легко заключаем, что рациональные функции
При выводе последнего условия мы воспользовались тем, что если
то
или, замечая, что
Соотношения (10), (11) налагают определенные условия на коэффициенты рациональных функций Применяя формулы (8), (9) к точкам, расположенным внутри у, получим на основании формул (4) и (5):
Применение формул (8), (9) к точкам, расположенным вне у, ничего нового не даст, а приведет лишь к условиям (10), (11), которые мы будем считать выполненными. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением предыдущих уравнений. Разделяя предыдущие уравнения соответственно на
можем переписать эти уравнения так:
где Из предыдущих уравнений легко исключить функцию
где
Таким образом, функция
где
— известная функция, содержащая линейным образом некоторое число неопределенных постоянных, а
Интегрируя уравнение (18), получаем:
где К — постоянная. Найдя Мы считали в случае, когда область Мы считали, кроме того, что в случае бесконечной области главный вектор Если главный вектор Замечание. Совершенно аналогично решается несколько более общая задача, которую получим, заменив условие
|
1 |
Оглавление
|