§ 32. Комплексное представление смещений и напряжений.

Умножая вторую из формул (12) § 30 на и складывая с первой, получаем:

откуда на основании (4) § 31 следует весьма важная и удобная формула:

которая по существу совпадает с формулой, впервые указанной Г. В. Колосовым [1] и полученной иным путем; здесь введено обозначение

Рис. 15.

В случае тонкой пластинки («обобщенное плоское напряженное состояние»; § 26) вместо х надо брать величину х, получаемую из предыдущей при замене X на X, т. е.

Очевидно, что Перейдем теперь к представлению компонент напряжения при помощи тех же функций С этой целью найдем выражение для усилия, действующего на элемент какого-либо профиля, проведенного в плоскости

Рассмотрим на этой плоскости какую-либо дугу Для определенности припишем ей некоторое положительное направление, а именно от А к В, и будем проводить нормаль к ней вправо по отношению к наблюдателю, движущемуся в положительном направлении. Иными словами,

предположим, что положительные направления нормали и касательной расположены друг относительно друга так же, как направления осей Ох, Оу (рис. 15).

Под усилием действующим на элемент дуги контура, будем, как всегда, подразумевать усилие, действующее со стороны положительной нормали. Имеем:

Но, как легко видеть,

где положительное направление касательной. Внося эти значения в предыдущие формулы, получаем:

или в комплексной форме

или

Внося в эту формулу выражение (4) § 31, получаем:

Придадим элементу сперва направление оси Оу. Тогда

и из предыдущей формулы следует:

Придадим затем направление оси Тогда

и из формулы (5) после умножения на получаем:

Формулы (7) и (8) дают искомые выражения для компонент напряжения. Их можно заменить более простыми. Именно, складывая и вычитая равенства (7) и (8) и заменяя во втором результате на получаем:

где для краткости введены обозначения:

Весьма полезные формулы (9) и (10) также принадлежат Г. В. Колосову [1], который получил их иным путем, без посредства функций напряжений.

Полученные выражения для компонент смещения и напряжения показывают, что эти компоненты при принятых выше условиях являются аналитическими функциями переменных х, у внутри рассматриваемой области, ибо этим свойством обладают функции

Замечание. В ряде работ можно встретить ссылки на «полуобратный метод Вестергарда». Вестергард в 1939 г. опубликовал работу (Westergaard [1 ]), в которой показал, что в ряде случаев плоской деформации нормальные и касательные напряжения выражаются через одну аналитическую функцию комплексного переменного следующим образом:

где заменяет слова «мнимая часть». Подбирая функцию Вестергард получил решения ряда задач (задача о плоскости с разрезом, растягиваемой на бесконечности перпендикулярно к линии разреза, задача о штампе и т. д.). Нетрудно видеть, что решение Вестергарда представляет собой простейший частный случай указанного выше общего решения, соответствующий

Все решения, которые можно получить по методу Вестергарда, должны на линии удовлетворять условиям

В отделе II гл. VI (§ 112—120) рассмотрено много подобных и более общих задач; решения задач, полученные Вестергардом, содержатся в этом отделе в качестве простейших частных случаев. Заметим, что решения этих задач были уже приведены во втором издании настоящей книги, опубликованном в 1935 г. и, по-видимому, оставшемся неизвестным Вестергарду.