§ 78. Приведение основных задач к функциональным уравнениям.

1. Пусть конечная или бесконечная часть плоскости z, ограниченная одним простым замкнутым контуром удовлетворяющим условиям § 47. Отобразим на круг плоскости соотношением

окружность нашего круга мы по-прежнему обозначим через у.

Будем считать, что в случае конечной области точке соответствует точка а в случае бесконечной области точке соответствует точка Таким образом, при конечной области будем иметь:

а при бесконечной области (см. § 47)

Не забудем, что не обращается в ни внутри, ни на окружности у (§ 47).

Будем, далее, предполагать (временно), что в случае бесконечной области не только напряжения, но и смещения остаются ограниченными на бесконечности. Это равносильно (см. § 36) предположению, что напряжения равны нулю на бесконечности, что главный вектор внешних усилий, приложенных к границе, равен нулю и что равно нулю вращение на бесконечности.

При этих условиях и при обозначениях, принятых в § 50, функции будут голоморфны в области (включая точку в случае бесконечной области; см. § 36). Следовательно, функции будут голоморфны внутри круга Мы будем считать, что функции непрерывны вплоть до окружности у рассматриваемого круга, т. е. считать решение регулярным (§ 42), и будем искать только такие решения.

Кроме того (§ 41), в случае конечной области мы можем всегда считать а в случае бесконечной Значит, мы можем в обоих случаях считать

В случае первой основной задачи для конечной области можно, кроме того, произвольно фиксировать мнимую часть величины мнимую часть величины

2. Граничное условие первой основной задачи принимает вид (см. § 51):

где, напоминаем, обозначает произвольную точку на окружности у, а под следует подразумевать граничные значения при С а изнутри у.

Предыдущее условие, переходя к сопряженным значениям, можно записать и так:

Величина определяется на контуре равенством (см. § 41):

где дуга контура а постоянная в правой части должна быть зафиксирована произвольно. Это выражение надо считать заданной функцией от есть известная функция от д) или, что все равно, от а.

Мы будем считать, что величина не только однозначна и непрерывна, но что она имеет непрерывную производную по удовлетворяющую условию (§ 65, п. 3). Для этого, очевидно, достаточно, чтобы функции удовлетворяли условию

Заметим теперь следующее. Если нам тем или иным путем удастся найти функцию то функцию можно будет вычислить непосредственно, исходя из граничного условия. В самом деле, это последнее даст граничные значения функции которая поэтому определится формулой

Если внесем сюда значение определяемое формулой (6), и вспомним, что по формуле (18) § 76,

то получим:

Итак, нам остается найти функцию Для этой цели мы составим функциональное уравнение, содержащее лишь и непосредственно вытекающее из граничного условия. А именно, перепишем граничное условие (5) так:

обозначая правую часть временно через выразим, что функция должна представлять собой граничное значение некоторой функции голоморфной внутри у и обращающейся в при Для этого же, как мы знаем (см. § 76, п. 3), необходимо и достаточно, чтобы

постоянная а в правой части формулы (12) § 76 в нашем случае равна нулю, так как по условию

Внося в предыдущую формулу, вместо правую часть формулы (9), получаем:

или окончательно

где для краткости через обозначена заданная функция

Это и есть функциональное уравнение, из которого должна быть определена функция

Мы увидим в следующем параграфе, что это уравнение вполне определяет искомую функцию, если, в случае конечной области, зафиксировать мнимую часть отношения

До сих пор мы предполагали, что в случае бесконечной области главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру и значения напряжений на бесконечности равны нулю; мы считали также равным нулю вращение на бесконечности. Отбросим теперь эти

предположения. В этом общем случае функции для бесконечной области имеют вид (см. § 36):

где обозначают функции, голоморфные в (включая точку и где следует рассматривать как заданные величины; кроме того, можно произвольно зафиксировать мнимую часть Величины могут быть заранее вычислены, так как внешние напряжения, действующие на контур, известны.

Принимая во внимание формулу (3), предыдущие формулы можно привести к виду:

где функции, голоморфные внутри у и непрерывные вплоть до у.

В дальнейшем при решении первой основной задачи мы будем всегда считать, что мнимая часть величины взята равной нулю, так что Иными словами, мы будем считать, что вращение исчезает на бесконечности; это, очевидно, не нарушает общности.

Подставляя значения (13) в (5), увидим, что функции должны удовлетворять точно тому же условию (5), что и функции с той только разницей, что вместо следует теперь взять где

или, замечая, что

Вместо а можно в предыдущем выражении написать просто

Легко видеть, что выражение будет однозначной непрерывной функцией на производная которой по удовлетворяет условию если заданные функции удовлетворяют (как мы предполагаем) условию

Однозначность выражения следует из того, что при полном обходе по у (против часовой стрелки, что соответствует обходу контура по часовой стрелке, оставляющему бесконечную область слева) выражение прирастает на величину и на такую же величину прирастает (

Таким образом, для нахождения мы имеем точно такие же условия, как имели выше для нахождения Значит, мы всегда можем свести общий случай к предыдущему.

3. Перейдем ко второй основной задаче. Граничное условие в этом случае имеет вид (§ 51):

где заданные граничные значения компонент смещения.

Мы видим почти полную аналогию с первой основной задачей. Считая сперва, что (в случае бесконечной области)

т. е. считая голоморфными и поступая, как в случае первой основной задачи, получаем уравнение, аналогичное уравнению (10):

где заданная функция

Уравнение (16) представляет собой функциональное уравнение, которое вполне определяет функцию это будет показано в следующем параграфе.

После того, как будет найдена функция функция определится по формуле, аналогичной формуле (8):

Случай, когда величины не равны нулю, а произвольно заданы (здесь, разумеется, мы имеем в виду бесконечную область), можно свести к предыдущему, совершенно аналогично тому, как мы поступили при рассмотрении первой основной задачи.

4. Совершенно аналогично можно составить функциональное уравнение, определяющей для случая основной смешанной задачи, когда на одной части границы заданы внешние усилия, а на другой — смещения. В этом случае уравнение имеет несколько более сложный вид, и мы на нем останавливаться не будем (см. также конец § 79, п. 4).