IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ

§ 47. Конформное отображение.

Пусть две комплексные переменные, связанные соотношением

где однозначная аналитическая функция в некоторой области на плоскости переменной Соотношение (1) приводит в соответствие каждой точке области вполне определенную точку z на плоскости этой последней переменной. Эти точки заполняют на плоскости z некоторую определенную область Предположим, что, и обратно, каждой точке z области в силу соотношения (1) соответствует одна вполне определенная точка области В этом случае говорят, что соотношение (1) определяет взаимно однозначное конформное преобразование или конформное отображение области на область и обратно.

Отображение называется конформным благодаря следующему свойству, характерному для соотношения вида (1), где а аналитическая функция: если в области взять два линейных элемента, выходящих из некоторой точки и составляющих между собой некоторый угол а, то соответствующие им элементы в области будут составлять такой же угол а, причем направление отсчета углов сохраняется.

В дальнейшем (если противное не оговорено особо) мы будем иметь в виду только области, ограниченные одним или несколькими простыми замкнутыми контурами.

Области могут быть как конечными, так и бесконечными (причем, в частности, одна из них может быть конечной, а другая — бесконечной). Если, например, область конечна, а область бесконечна, то функция а должна обращаться в некоторой точке области в бесконечность (иначе мы не имели бы в области точки, которой бы соответствовала бесконечно удаленная точка области Легко показать, что функция должна иметь в этой точке простой полюс, т. е. если считать для определенности, что точке соответствует точка то функция со должна иметь вид

где с — постоянная, причем других особенностей в области быть не может, иначе отображение не могло бы быть взаимно однозначным.

Если области обе бесконечны, причем бесконечно удаленные точки соответствуют друг другу, то функция со по той же причине должна иметь вид

где постоянная. Напомним, что под функцией, голоморфной в бесконечной области, подразумевается функция, которая голоморфна в любой конечной части этой области, а при достаточно больших может быть представлена рядом вида

Далее можно показать, что производная не может обращаться в нуль в области 2, иначе отображение не было бы взаимно однозначным.

Возникает теперь вопрос: если даны две произвольные области возможно ли всегда найти функцию такую, чтобы соотношение (1) давало конформное отображение на 2, и обратно. Этот вопрос решен в настоящее время с чрезвычайно большой общностью. Мы ограничимся здесь только несколькими общими указаниями.

Прежде всего очевидно, что нельзя получить (взаимно однозначного) отображения односвязной области на многосвязную.

Рассмотрим сперва случай, когда каждая из двух областей односвязна и ограничена простым замкнутым контуром. Тогда всегда можно найти соотношение вида (1), отображающее одну область на другую, причем отображение будет непрерывным вплоть до контуров. Кроме того, функцию со всегда можно выбрать так, чтобы произвольно заданной точке области 2 соответствовала произвольно заданная точка в области и чтобы соответствовали друг другу направления произвольно выбранных линейных элементов, проходящих через и Эти дополнительные условия вполне определяют функцию

Предположим для простоты, что область 2 есть круг радиуса 1 с центром в начале координат. Окружность этого круга обозначим через у. Таким образом, на у будет

Вследствие того, что отображение непрерывно вплоть до контуров, функция непрерывно продолжима на у; граничное ее значение мы будем обозначать через где точка окружности у.

В дальнейшем нас будет интересовать также поведение производной вблизи у и на у, в особенности вопрос о том, может ли обратиться в нуль в какой-либо точке контура. Ответ на это дает следующее предложение.

Если координаты точек контура области имеют непрерывные производные по дуге вплоть до второго порядка (это значит, что контур имеет непрерывно изменяющуюся кривизну), то функция непрерывно продолжима на у причем, если обозначить ее граничное значение через то будет

и, кроме того.

(мы знаем уже, что всюду внутри

Если, сверх того, координаты точек контура области имеют также непрерывные производные третьего порядка по дуге, то и вторая

производная непрерывно продолжима на у, причем для ее граничного значения имеем:

В дальнейшем (если противное не оговорено особо) мы будем считать, что имеем дело с контурами, удовлетворяющими указанным условиям.

Заметим еще, что если нам удалось отобразить область на круг радиуса 1, то мы всегда сможем отобразить же область на бесконечную плоскость с круговым отверстием. Для этого достаточно произвести подстановку

действительно, когда описывает наш круг, т. е. область то описывает бесконечную плоскость с круговым отверстием, т. е. область Значит, если рассматривать z как функцию от получим требуемое отображение.

В дальнейшем мы почти всегда будем отображать конечные односвязные области на круг а бесконечные односвязные области — на область т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием. Можно было бы ограничиться в обоих случаях отображением на круг но указанный способ несколько удобнее в практическом отношении.

Скажем еще несколько слов относительно многосвязных областей. Очевидно, отображать друг на друга можно только области одинаковой связности.

Например, двусвязную область (область, ограниченную двумя замкнутыми контурами, ибо областей более общего вида мы не рассматриваем) можно всегда отобразить на круговое кольцо. Но, в противоположность случаю односвязных областей, это круговое кольцо не может быть выбрано совершенно произвольно: отношение радиусов внутренней и внешней окружностей должно быть определенной величиной, зависящей от вида области

Укажем теперь две простые теоремы, весьма полезные для практики:

I. Пусть — конечная или бесконечная область на плоскости комплексной переменной ограниченная простым замкнутым контуром у и пусть функция, голоморфная в области 2 2) и непрерывная вплоть до контура. Пусть, далее, точка, определяемая равенством описывает на плоскости z (двигаясь все время в

одном и том же направлении) некоторый простой замкнутый контур когда описывает контур у. Тогда соотношение дает конформное отображение области заключенной внутри на область 2, и обратно

Эту теорему можно обобщить на случай многосвязных областей следующим образом.

II. Пусть — конечная или бесконечная (связная) область, ограниченная несколькими простыми замкнутыми контурами (не имеющими общих точек). Пусть со функция, голоморфная в 2 и непрерывная вплоть до границы, и пусть точка z, определяемая соотношением описывает на плоскости z простые замкнутые контуры (не имеющие общих точек), ограничивающие некоторую (связную) область когда описывает контуры При этом предполагается, что когда точка описывает границу области 2 в положительном направлении (т. е. оставляя ее все время слева), тогда соответствующая точка z описывает границу области также в положительном направлении.

При этих условиях соотношение устанавливает конформное отображение области 2 на и обратно.

Предыдущие теоремы легко обобщить в различных направлениях (например, на случай, когда в состав границы входят разомкнутые линии), но мы на этом не останавливаемся.

Замечание. Легко видеть, что если области конформно отображены друг на друга соотношением вида (1), то при обходе границы области 2 в положительном направлении (т. е. когда область 2 остается слева) соответствующая точка z будет обходить границу области также в положительном направлении 4).

Мы не ввели этого условия в формулировку теоремы I, так как оно для доказательства не нужно; тех условий, которые перечислены в этой формулировке, уже достаточно, чтобы доказать теорему. Значит, направление обхода контура непременно будет таким, как сказано выше. Но в формулировку теоремы II это условие ввести необходимо: в противном случае теорема может оказаться несправедливой.