§ 117. Равновесие жесткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения.

Задача равновесия жесткого штампа на границе упругой полуплоскости решена в предыдущих параграфах в двух крайних случаях, когда коэффициент трения равен нулю (§ 115— 116) и когда он бесконечно велик (§ 114); в последнем случае предполагалось даже большее, а именно, что упругий материал не может отставать от штампа и что, таким образом, допустимо наличие отрицательных давлений, даже сколь угодно больших.

Используя метод, указанный в предыдущих параграфах, можно получить решение задачи также при конечном коэффициенте трения, что только и может иметь место в действительности. При этом мы ограничиваемся рассмотрением того лишь случая, когда штамп находится на пороге равновесия; точнее, предполагаем, что на границе упругой полуплоскости, под штампом, где обозначают соответственно давление и касательное напряжение, приложенные к точкам границы полуплоскости, а — коэффициент трения, предполагаемый постоянным.

Направим по-прежнему ось Ох по границе упругой полуплоскости, а ось Оу перпендикулярно к ней, так, чтобы упругое тело занимало нижнюю полуплоскость При таком выборе осей

Будем, далее, предполагать, что штамп соприкасается с упругой полуплоскостью вдоль одного сплошного отрезка

Кроме того, будем считать, что штамп может перемещаться лишь поступательно.

Граничные условия нашей задачи имеют вид:

Здесь по-прежнему обозначает абсциссу точки оси проекцию смещения на ось заданную функцию, определяющую профиль штампа, а именно: есть уравнение этого профиля. Мы будем считать, что имеет производную удовлетворяющую условию Кроме того, мы будем считать заданной величину

т. е. суммарное давление штампа на полуплоскость. Суммарное касательное напряжение будет тогда очевидно таким образом, будет задан главный вектор внешних сил, действующих на штамп и уравновешиваемых реакцией упругой полуплоскости.

При обозначениях и общих предположениях, принятых в § 112, граничные условия (1) и (2) нашей задачи могут быть записаны на основании формул (14) и (15) § 112 соответственно в виде:

причем условие на вне эквивалентно условию голоморфности функции вне отрезка

Формула (4) показывает, что функция голоморфна на всей плоскости, и так как она должна исчезать на бесконечности, то

на всей плоскости. Выражая при помощи формулы через и внося в формулу (5), получаем граничное условие для

где положено:

Предыдущие выражения можно упростить, вводя постоянную а, определяемую условиями (вспомним, что

Тогда

и, следовательно,

Применяя к решению задачи (7) способ, указанный в § 110, и замечая, что в нашем случае

и что в качестве функции в формуле (18) § 110 можно взять выражение (см. замечание 2 в конце § 110), получаем:

где постоянная, а под подразумевается ветвь, голоморфная вне отрезка и принимающая на верхней стороне этого отрезка действительные положительные зцачения указанная ветвь характеризуется, как легко видеть, тем, что

Постоянная сразу определяется на основании формулы (4) § 112, которая дает:

откуда на основании формулы (11) следует:

и формула (10) принимает вид:

Легко проверить, что все условия задачи будут удовлетворены, если, как мы условились, считать, что удовлетворяет на условию Таким образом, задача решена, ибо функция вполне характеризует напряженное состояние.

Разумеется, решение будет физически возможным лишь в случае, если давление в точках под штампом, вычисленное на основании формулы (12), удовлетворяет условию Давление это легко вычисляется. В самом деле, на основании формулы (14) § 112 имеем:

Вычисляя последнюю разность по формулам Сохоцкого — Племеля, легко получаем:

При (тогда и ) снова получаем решение для идеального случая, когда трение отсутствует.