§ 69. О производных интеграла типа Коши.

1. Пусть по-прежнему

где обозначают то же, что в начале § точка, не расположенная на Производные любого порядка функции мы можем получить простым дифференцированием интеграла в правой части по параметру z, так что

и вообще

Возникает вопрос о поведении этих производных, когда z приближается к линии с той или другой стороны. На этот вопрос очень легко ответить, если считать, что функция заданная на удовлетворяет некоторым условиям.

Предположим, например, что функция имеет на некоторой дуге принадлежащей первую производную по удовлетворяющую на условию Под производной по мы, конечно, подразумеваем предел

когда стремится к по произвольному закону, но оставаясь все время на дуге эту производную мы будем, как обычно, обозначать через или

Разобьем интеграл правой части формулы (2) на два, один которых взят по дуге а другой — по остальной части Второй интеграл, очевидно, представляет собой функцию от z, голоморфную в окрестности любой точки дуги не совпадающей с ее концами. Первый же интеграл интегрированием по частям можно преобразовать так:

Так как по предположению удовлетворяет на условию то на основании сказанного в § 68 ясно, что правая часть предыдущей формулы непрерывно продолжима на дугу как слева, так и справа, если не считать ее концов (т. е. точек следовательно, то же имеет место относительно функции

Переходя последовательно к производным высших порядков, легко докажем, что если функция имеет производную -го порядка по удовлетворяющую на некоторой дуге линии условию то функция непрерывно продолжима на дугу как слева, так и справа, если не считать ее концов.

Применяя сказанное в § 68, можем еще, очевидно, утверждать, что при указанном условии граничные значения и удовлетворяют на условию если исключить (произвольно малые) окрестности концов

2. Вернемся к первой производной Если не налагать на функцию никакого другого ограничения, кроме условия то уже нельзя утверждать, что производная непрерывно продолжима на она может оказаться даже неограниченной вблизи границы.

Следующая простая оценка модуля этой производной бывает часто полезна.

Пусть точка линии находящаяся на конечном расстоянии от ее концов (если таковые имеются), и пусть удовлетворяет условию в окрестности этой точки. Тогда для точек z, достаточно близких к

где кратчайшее расстояние точки z до линии постоянная, меньшая 1.

Эта оценка непосредственно вытекает из одной оценки, приведенной в книге автора [25].

Замечание. Если мы будем определять положение точки на дугой отсчитываемой в положительном направлении от некоторой фиксированной точки на L (скажем, от точки а), то, очевидно:

где а — угол, составляемый положительной касательной к в точке с осью Отсюда

Линию мы условились считать гладкой, т. е. такой, что угол а непрерывно изменяется вместе с (или вместе с Отсюда, конечно, еще не следует, что угол а удовлетворяет условию Поэтому, если удовлетворяет условию это еще не значит, что удовлетворяет названному условию.

Если же мы предположим дополнительно, что угол а удовлетворяет условию то тогда из того, что удовлетворяет условию вытекает, что и удовлетворяет условию и обратно.

Далее, из существования второй производной по

еще не вытекает существования даже если считать, что а удовлетворяет условию Но если предположить, что существует производная (эта производная, как известно, представляет собой кривизну линии в точке то тогда существует и производная которую можно вычислить по формуле, вытекающей из формулы (5):

эта производная будет удовлетворять условию если названному условию удовлетворяет а также

Аналогично для производных высшего порядка.