§ 110. Решение задачи ...

Рассмотрим теперь случай, когда где заданная постоянная, вообще комплексная. Граничное условие имеет в этом случае вид

на кроме концов.

Рис. 48.

Мы будем считать теперь, что состоит из простых разомкнутых гладких дуг без общих точек 3); эти дуги, как было уже условлено, мы будем обозначать еще через где концы обозначенные так, что положительное направление ведет от (рис. 48).

Будем сперва искать решения, могущие иметь полюс произвольного порядка на бесконечности, и начнем с однородной задачи

Попытаемся найти частное решение этой задачи в виде

где постоянная.

Функция голоморфда в т. е. на разрезанной вдоль плоскости, если под этой функцией подразумевать определенную ветвь, например ту, для которой иными словами, ту ветвь, которая при больших имеет вид

в дальнейшем (если противное не оговорено) мы будем подразумевать именно эту ветвь.

Легко проверить, если проследить за изменением аргумента а или когда z, выходя из точки дуги описывает замкнутый путь, не пересекающий ведущий от левой стороны дуги к правой и охватывающий конец (как на рис. 48) или конец (этот случай на рис. 48 не изображен), что имеет место равенство

т. е.

Следовательно, будет удовлетворять граничному условию (1), если т. е.

где обозначает аргумент постоянной Этот аргумент определен с точностью до слагаемого вида где k — целое число, но мы выберем его так, чтобы

последнее условие вполне определяет 0. Если, в частности, действительное положительное число, то если же действительное отрицательное число, то

Проверим еще, удовлетворено ли неравенство вида

где с — любой из концов которому должна, по условию, удовлетворять всякая кусочно-голоморфная функция. На основании условия (6) имеем:

Если не есть действительное положительное число, то Поэтому, если исключить случай, когда действительное положительное число, неравенство (7) будет соблюдено при можно взять при можно взять .

Итак, мы нашли частное решение однородной задачи (при условии а. ; оно выражается формулой (2), если под у подразумевать величину (5). Это частное решение нигде на конечном расстоянии в нуль не обращается и неограничено, как соответственно вблизи концов

Найдем теперь самое общее решение однородной задачи, могущее иметь полюс на бесконечности. Для этого заметим, что функция будучи решением однородной задачи, удовлетворяет условию

откуда

Внося это выражение на место в граничное условие (1), получаем:

или

где обозначает кусочно-голоморфную функцию Из предыдущего соотношения вытекает, что функция голоморфна на всей плоскости, если приписать ей надлежащие значения на кроме точки Так как, далее, может иметь на бесконечности лишь полюс, то по обобщенной теореме Лиувилля полином.

Итак, самое общее решение однородной задачи дается формулой

где произвольный полином.

Если мы хотим получить решение, голоморфное также на бесконечности, то должны считать, что степень полинома не превосходит это вытекает из поведения на бесконечности, определяемого формулой (3). Если мы хотим, чтобы то под мы должны подразумевать полином степени не выше

Решения (10) вообще не ограничены вблизи концов. Но если мы хотим получить решения, ограниченные вблизи заданных концов то должны выбрать полином так, чтобы он обращался в нуль в этих точках, иначе говоря, взять

где полином. Тогда решение будет не только ограниченным вблизи заданных концов, но и обращаться в нуль на них. Полагая

мы можем представить все решения, ограниченные вблизи концов

где произвольный полином.

представляет собой, разумеется, частное решение однородной задачи, аналогичное но ограниченное вблизи заданных концов; оно обращается в нуль на этих концах, однако так, что вблизи этих концов

где ограниченная величина, такая, что

Среди решений отметим два следующих: решение

остающееся ограниченным вблизи всех концов (и обращающееся в нуль на них), и решение

остающееся ограниченным вблизи концов обращающееся в нуль на них).

Решения и ведут себя при больших следующим образом:

Вернемся теперь к неоднородной задаче. Пользуясь формулой (9), перепишем граничное условие (1) так:

или

где введены обозначения: Применяя теперь сказанное в § 108, получаем;

где произвольный полином. Это и есть общее решение задачи при допущении полюса на бесконечности.

Если мы хотим получить решение, голоморфное на бесконечности, то должны считать, принимая во внимание формулу (3), что полином степени не выше

где произвольные постоянные. Если, кроме того, мы хотим, чтобы то должны считать

Решение вообще говоря, не ограничено вблизи концов Путем надлежащего подбора полинома мы можем, однако, добиться, чтобы оно было ограниченным вблизи заранее заданных концов Это проще всего показать непосредственно, построив общее решение, обладающее указанным свойством. А для этого, в свою очередь, достаточно буквально повторить рассуждения, приведшие к формуле (18), но взяв, вместо частного решения решение определяемое формулой (11)

Таким образом получим общее решение, ограниченное вблизи концов

где произвольный полином.

Из формул (11) и (3) вытекает, что при больших

поэтому функция голоморфна на бесконечности лишь при

Если то первое слагаемое правой части (20) остается ограниченным при и для получения решения, голоморфного также при следует считать, что полином степени не выше при следует считать

Если же то голоморфные на бесконечности решения существуют лишь при соблюдении некоторых условий, которые мы сейчас укажем. Принимая во внимание, что при больших

имеем разложение, пригодное для достаточно больших

где

Если поэтому мы хотим, чтобы решение (20) было голоморфным на бесконечности при то мы должны положить кроме того, подчинить условию: т. е.

Итак, при голоморфные на бесконечности решения, ограниченные на концах существуют лишь при соблюдении условий (24).

Если, далее, мы хотим, чтобы то в предыдущей формуле мы должны взять

До сих пор мы исключали случай, когда т. е. когда действительное положительное число. При (считая по-прежнему,

что мы можем воспользоваться частным решением определяемым формулой (15). Это решение, как легко видеть, в нашем случае, когда остается ограниченным вблизи всех концов и нигде в нуль не обращается.

Рассуждая совершенно аналогично предыдущему, получаем, что общее решение задачи дается формулой

где произвольный полином; в нашем случае решения необходимо ограничены вблизи всех концов. Если мы хотим получить решение, голоморфное при то должны, принимая во внимание формулу (17), положить если же, кроме того, требуется, чтобы то следует положить

Формула (25), разумеется, пригодна и для в этом случае она обращается в частный случай формулы (20), давая все решения, ограниченные на концах

Найдем, наконец, общее решение нашей задачи при допущении, что оно может иметь полюсы порядков не выше в заданных точках Рассуждая совершенно аналогично предыдущему и принимая во внимание формулу (5) § 108, легко получаем формулу для общего решения требуемого вида, пригодную при

где рациональная функция вида формулу (6) § 108]:

где произвольный полином, степени не выше

В случае мы будем иметь аналогичную формулу, получаемую заменой на в этом случае степень полинома не должна превосходить

Отметим в заключение частный случай рассматриваемой задачи, когда в этом случае граничное условие принимает вид

Имеем в нашем случае:

Следовательно, согласно формуле (2)

и согласно формулам (14) и (15)

Самое общее решение задачи, допускающее полюс на бесконечности, дается формулой (18), в которой вместо следует взять выражение (30); если принять во внимание, что в нашем случае для этого общего решения будем иметь:

где определяется формулой (31), а произвольный полином. Решение, остающееся голоморфным и на бесконечности, получим, считая, что степень полинома не превосходит

Решение, ограниченное вблизи всех концов, получим по формуле, вытекающей из общей формулы (20):

Если мы хотим получить решение, голоморфное также на бесконечности, то должны считать кроме того, подчинить заданную функцию условиям, вытекающим из условий (24):

Если же мы хотим, кроме того, чтобы то в предыдущей формуле следует взять

Замечание 1. Во многих случаях интегралы, входящие в формулы настоящего параграфа, легко вычисляются в конечном виде. Это, например, имеет место в случае, часто встречающемся на практике, когда полином:

Действительно, рассмотрим интеграл

фигурирующий в формуле (20); в частности, при мы получим интеграл формулы (18).

Рассмотрим, наряду с предыдущим, другой интеграл:

где обозначает совокупность замкнутых контуров окружающих дуги с положительными направлениями по движению часовой стрелки, как показано на рис. 49; при этом предполагается, что точка z остается вне этих контуров.

Принимая во внимание формулу (21), заключаем, что при больших

где причем коэффициенты (другие нам не понадобятся) легко вычисляются элементарным путем; при следует считать, что все они равны нулю.

Рис. 49.

Поэтому на основании формулы (3) § 70 получаем:

(если то полином в правой части исчезает).

С другой стороны, стягивая контуры к дугам и замечая, что при этом в интеграле (38) стремится к или смотря

по тому, на какой из частей контура находится легко заключаем:

или, принимая во внимание, что на имеем и что при замене пути на путь мы должны изменить знак перед интегралом на обратный,

откуда, очевидно, следует:

Следовательно, для интересующего нас интеграла получаем:

Интегралы вида

где k — целое число, также легко вычисляются; при предполагаем, что точка не расположена на

В самом деле, аналогично предыдущему легко заключаем, что

где обозначает то же, что выше. С другой стороны, если обозначает коэффициент при в разложении (39), то по теореме о вычетах

и, следовательно,

Совершенно аналогичные результаты получим, когда рациональная функция, а не только полином.

Следует иметь в виду, что если представляется на различных дугах составляющих различными полиномами (или различными

рациональными функциями), то вычисление предыдущих интегралов уже не может быть, вообще говоря, осуществлено столь просто.

Если состоит лишь из одной дуги и если функция не есть полином, то все же в большинстве практически интересных случаев ее можно с достаточным приближением заменить подходящим полиномом с весьма небольшим числом членов и тем более рациональной функцией.

Замечание 2. Выше для решения поставленной граничной задачи мы пользовались определенным образом выбранным частным решением соответствующей однородной задачи. Но очевидно, что ничего не изменится, если заменить на где С — произвольная постоянная, отличная от нуля. Важно только, чтобы в формуле (20) и связанных с нею формулах под на подразумевалось значение, принимаемое на слева выбранной нами функцией

Пусть, например, представляет собой отрезок действительной оси. Согласно принятому нами выше условию под функцией

в формуле (33) подразумевается ветвь, такая, что при больших

Эта функция принимает на отрезке чисто мнимые значения. Но иногда удобнее иметь дело с функцией, принимающей на этом отрезке действительные значения. Такой функцией будет, например,

Если мы выберем нижний знак, т. е. положим

то получим функцию, которая, как легко видеть, принимает положительные значения на левой стороне отрезка оси Этой функцией можно заменить функцию